Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
79. На данной окружности найти точку, наименее удаленную от данной точки.
80. На данной окружности найти точку, наиболее удаленную от данной точки.
81. Найти отрезок наименьшей длины, концы которого лежат на двух данных окружностях.
82. Найти отрезок наибольшей длины, концы которого лежат на двух данных окружностях.
83. На отрезках AC и CB диаметра AB описаны как на диаметрах полуокружности. При каком положении точки площадь фигуры, заключенной между тремя полуокружностями, будет наибольшая?
84. Из треугольников с общим углом при вершине и данной суммой боковых сторон найти треугольник с наименьшим основанием.
85. Стороны AB и AC треугольника ABC продолжены за вершины В и С на отрезки BD и CF так, что
BDArCF = BC
При каком условии отрезок DF будет иметь наименьшую длину?
86. Через данную точку А вне круга провести секущую ABC так, чтобы /\ВОС (О — центр круга) имел бы наибольшую площадь.
87. В ДАВС на основании ВС дана точка Ж. Требуется провести DE\\ВС так, чтобы площадь треугольника MDE была наибольшей.
88. Внутри данного выпуклого четырехугольника найти точку, сумма расстояний которой до вершин данного четырехугольника имела бы наименьшую величину.
89. Внутри прямоугольника ABCD дана точка Р. Найти на каждой из сторон прямоугольника по одной точке /С, L1 M1 N так, чтобы ломаная PKLMNP имела наименьшую длину.
90. Дан угол и на одной его стороне даны точки А и В. На другой стороне
угла найти такую точку C1 чтобы угол ACB достигал максимума.
91. В данный треугольник вписать прямоугольник с наименьшей диагональю.
92. Разрезать прямоугольник с измерениями 16 и 9 на две части так, чтобы из них можно было сложить квадрат.
93. Как разрезать параллелограмм на части, из которых можно затем сложить квадрат?
94. Даны окружность и ее центр. С помощью одной линейки вписать в эту окружность квадрат.
95. Даны окружность и ее центр. С помощью одной линейки вписать в эту окружность правильный треугольник.
96. Из точки, лежащей вне окружности, опустить перпендикуляр на данный диаметр окружности, пользуясь одной линейкой.
97. Даны окружность и точки А и В вне окружности. Построить точки пересечения ^прямой AB с данной окружностью при помощи одного циркуля.
98. Построить центр окружности при помощи одного циркуля.
$9. Пользуясь только циркулем, построить по двум данным вершинам квадрата две другие его вершины.
234
Планиметрия. Гл. XIX. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ
100. В треугольнике даны середины двух сторон. Через произвольную точку в плоскости треугольника провести при помощи одной линейки прямую, параллельную третьей стороне.
101. В плоскости треугольника даны две прямые, параллельные двум сторонам треугольника. Через произвольную точку плоскости треугольника провести при помощи одной линейки прямую, параллельную третьей стороне.
102. Провести к данной окружности из внешней точки касательные, пользуясь одной линейкой.
103. Из данной точки окружности опустить перпендикуляр на ее диаметр при помощи одной линейки (центр окружности неизвестен).
104. Даны отрезок и параллельная ему прямая. Пользуясь только линейкой, разделить этот отрезок пополам.
105. При помощи одной линейки провести прямую, параллельную основаниям данной трапеции, так, чтобы ее отрезок, заключенный внутри трапеции, делился диагоналями на три равные части.
106. Пользуясь одной линейкой, разделить трапецию на две равновеликие части.
107. В круг вписан правильный шестиугольник. Пользуясь одной линейкой,
построить ~ -ю часть радиуса (я-— 2, 3, 4 . . .).
108. Найти точку, сумма квадратов расстояний которой от вершины треугольника наименьшая. Найти величину этой суммы.
Глава XX
ЗАДАЧИ, В РЕШЕНИИ КОТОРЫХ ПРИМЕНЯЮТСЯ КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
1.* На сторонах ВС, CA и AB треугольника ABC взяты точки Ar, Br, С. Пусть A1, B1, C1 и A2, B2 C2 — образы точек A, B1 С в гомотетиях с одним и тем же коэффициентом гомотетии k и соответственно центрами гомотетий в точках С, А', В' и В'', С, А'
Доказать, что треугольники A1B1C1 и A2B2C2 имеют один и тот же центр тяжести.
2**. Пуст>ь ABC — треугольник, сторона ВС которого лежит на фиксированной прямой (D) и угол А которого задан: A = а, причем 0<а<90°. Кроме того, фиксирована точка H пересечения высот треугольника ABC 1°. Показать, что окружность, описанная вокруг треугольника ABC, проходит через фиксированную точку. Построить треугольник ABC, зная точку Н, прямую (D), угол а и еще длину а стороны ВС Исследовать.
2°. Пусть Вг и С — точки, полученные из точек В и С в результате преобразования инверсии с полюсом H и степенью инверсии 4k2, где 2k — расстояние от точки H до прямой (D). Найти огибающую прямой BrC. Показать, что окружность, описанная вокруг треугольника НВС, касается фиксированного круга; вычислить диаметр этого круга в функции k и а.
3°. Доказать, что окружность (О), описанная вокруг треугольника ABC, касается фиксированного круга. Найти геометрическое место центров О этого круга, а также геометрическое место центров тяжести треугольника ABC
