Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
3е. Теперь предположим, что (D) — фиксированная прямая, проходящая на расстоянии ОН - | от О и что точка M прямой (D) отстоит от
H на расстоянии HM = х. Вычислить в функции R и х радиусы окружностей (а) и (?). Найти отношение их радиусов. Найти геометрическое место их центров. 41**. Пусть (С) и (С)— две окружности радиусов R и R' с центрами О и О', касающиеся одна другой внешне в точке S. Пусть эти окружности пересекают прямую OOf в точке 5 и еще в точках А и А'. Общая касательная к ним, отличная от касательной (D) в точке пересекает (D) в точке Р, а линию центров — в точке S'; M и M' — точки прикосновения, T — середина 00'.
1°. Доказать, что окружность с диаметром 00' касается MM' в точке Р. Вычислить SS' и 5Г в функции RnR'.
2°. Доказать, что А, А', Al, AY расположены на одной окружности (2), центр u) которой диаметрально противоположен точке P на окружности с диаметром OOf. Доказать, что прямые AM и A''M' пересекаются в точке, лежащей на прямой (D). Пусть а и ?— проекции (D на 00' и на (D); доказать, что точки S', Я, Т, ? лежат на одной окружности; доказать, что точки S't P', а, ? также лежат на одной окружности.
3е. Прямые SM и SM' пересекают (Q) вторично в точках N и N'. Доказать, что прямая NN' перпендикулярна (D) и что расстояние ее до S равно 2SP (можно рассмотреть окружность, описанную вокруг прямоугольника SMP'M', и произвести соответствующую инверсию). Доказать, что S'P' — радикальная ось (Q) и точки 5. 4°. Предполагая, что прямая 00' и точка 5 фиксированы, а радиусы R и R' изменяются так, что R — R' = d (d — данное число); определить геометрическое место точек о), огибающую MM' и огибающую S'P'. 42**. AE и DD' — два взаимно-перпендикулярных диаметра окружности (О) с центром О и радиусом R. Назовем треугольником (T) всякий треугольник ABC, вписанный в окружность (О), стороны BC = a, CA = Ъ, AB = с которого удовлетворяют соотношению U1ArC1 — a2 = d2, где d — заданное положительное число или нуль. Обозначим через М, N, P соответственно середины отрезков ВС, CA и AB, а через AA', BB' и CC — высоты треугольника ABC.
1°. Доказать, что угол А в треугольнике ABC острый. Доказать, что выражение MA2 -f- МО2 постоянно. Получить отсюда, что геометрическое место точек М, если оно существует, есть дуга окружности (Г); где находится центр (Г) и каков радиус (Г)? Пусть заданы окружность (О) и точка М\ построить треугольник (T). Доказать, что необходимое и достаточное условие существования треугольника (T) есть d < 2RY2. Доказать, что окружность (Г) пересекает диаметр DD' в точках T и T таких, что OT= ОТ'= ~. Вывести отсюда про-.>| стэй способ построения (Г). Во всем последующем считается d = 2R.
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 247
2°. Доказать, что огибающая ВС — полуэллипс. Где расположены его фокусы и каковы его оси? Построить треугольник (7), зная (О) и одну из вершин — В или С. Доказать, что вершины В и С не могут описывать всей окружности (О). Построить крайние положения этих точек. Построить треугольник (T), при условий что угол В или С прямой.
* 3°. Найти геометрическое место точек А'', NnP. Найти граничные
точки этих геометрических мест. Доказать, что AB • ACf = ACABr = = 2R2. Доказать, что высоты BBf и CC огибают дугу параболы (Я); уточнить элементы (77). 43*. Дан прямоугольный треугольник AOB (О — прямой угол), причем угол А равен 60°, OB = а, где а—данная длина. Через О проводится полупрямая Ох, перпендикулярная AB, которая пересекает AB в точке Н; пусть M—какая-нибудь точка этой полупрямой. Положим OM = х.
1°. Вычислить в функции а и х выражения у = MA2 -\- MB2 и z = MD2 где D — середина AB. Доказать, что между у и z существует соотношение, не зависящее от х. Построить линию у — у(х) (положить в этом случае а=\). Определить M при условии, что у = т2, где т — данное число. Исследовать. 2°. Построим перпендикуляр в точке О к плоскости AOB и отложим на этом перпендикуляре в произвольном направлении отрезок OS = а. В плоскости SOx построим прямую HK J__-SM. Доказать, что угол AKB есть линейный угол двугранного угла с ребром SM, грани которого SMA и SMB. Определить M так, чтобы этот угол был прямым. 3°. Найти геометрическое место отрезков AK и BK при условии, что точка M описывает луч Ох. Построить пересечение плоскостей, касательных в точке К» к этим геометрическим местам. Определить M так, чтобы это пересечение было перпендикулярно плоскости АОВ. 44*. Пусть а, Ь, с — длины ВС, CA и AB сторон'треугольника ABC; предположим, что а > Ь > с.
1°. Пусть X — положительное или отрицательное число или нуль. Какому условию должен удовлетворять х, чтобы существовал треугольник А'В'С со сторонами а-\~х, Ь-\-х, с+-х? 2°. Дано а = 21, ?=19, с = 5; определить х так, чтобы треугольник А*В*О был бы прямоугольным.
Тот же вопрос в случае а = 21, ?=19, с= 12. 3°. Возвращаясь к общему случаю, доказать, что всегда возможно и притом единственным способом поставить в соответствие треугольнику ABC со сторонами а, Ь, с такими, что а > b > с, прямоугольный треугольник А'В'С со сторонами а-{~х, Ь-\-х, с-\-х. Исследовать в зависимости от формы треугольника ABC знак величины х, определяющей прямоугольный треугольник A9B9C1. 45. На фиксированной прямой (/) даны фиксированные точки А и С; В — середина отрезка AC Пусть (у) — переменная окружность, проходящая через В и С Проведем из точки А касательные к окружности (-f). Пусть M и M' — точки касания.
