Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
Г. Найти геометрическое место центров (у).
2°. Найти геометрическое место точек M и М!Пусть это геометрическое место пересекает прямую (/) в точках EnF.
3°. Доказать, что ^^ = const и найти эту постоянную.
4°. Доказать, что ME и MF — биссектрисы углов, образованных прямыми MB и MC
43*. Пусть (О) — окружность, описанная вокруг треугольника ABC; биссектрисы внутренних углов AnB этого треугольника пересекают стороны ВС и AC
248
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
в точках D и F9 а окружность (ф — в точках E и G. Доказать, что если DE = FG9 то треугольник равнобедренный.
47*. Пусть (О)— окружность, описанная вокруг треугольника ABC; АН a BJ— высоты этого треугольника, а / и К— точки их пересечения с окружностью (О). Доказать, что если все углы треугольника ABC острые и HI = = JK, то треугольник равнобедренный.
48*. Пусть (О)— окружность, описанная вокруг треугольника ABC; P — середина AC9 M— середина BC9 N и Q— точки, в которых AM и BP пересекают окружность (О). Доказать, что если MN = PQ9 то треугольник ABC равнобедренный.
49. Квадраты CDEF и C'D'E'F' вписаны в квадрант OAMB окружности (О) и в соответствующий сегмент AMB (точки E9 E'9 F9 F1 лежат на дуге АМВ; стороны EF и E'Fr параллельны AB)9 стороны ED и E'D' которых перпендикулярны к хорде AB и пересекают окружность вторично в точках E1
и Efv Доказать, что
EE1 = 3ED9 AB = 5E'D'9 Е'Е[ = IE1D'.
50. Угол А в треугольнике ABC равен 120°. Пусть D — точка, в которой биссектриса внутреннего угла А треугольника ABC пересекает ВС; обозначим через EhF основания перпендикуляров, опущенных из точки D на стороны AB и АС. Соединим точки E и F.
1°. Что можно сказать о треугольнике DEF'?
2°. На продолжении AF за точку F откладывают отрезок FS; на продолжении BE за точку E откладывают отрезок ET такой, что FS = ET. Проведем прямые SD9 TD и TS. Что можно сказать про треугольник SDT?
3°. Через точку С проводится прямая, параллельная DA; пусть эта прямая пересечет продолжение BA в точке М. Что можно сказать про треугольник ACМ?
4°. Зная, что AB = C9 AC = Ь, найти AD.
51. Дан выпуклый четырехугольник ABCD9 вписанный в окружность с центром О и радиусом R. Диагональ AC есть диаметр окружности. Противоположные стороны AB и CD пересекаются в точке E9 стороны ВС и DA — в точке F. Обозначим через M вторую точку пересечения (отличную от С) окружностей с диаметрами CE и CF.
Г. Доказать, что точки E9 M9 F лежат на одной прямой; доказать, что точки A9 C9 M лежат на одной прямой. Что можно получить отсюда для окружностей, описанных вокруг треугольников ADE и ABF?
2° Выразить через угол BAD = (X углы BME и DMF. Установить, что прямая MCA — биссектриса утла BMD.
3°. / — середина EF и J—середина BD; что можно сказать про треугольник IBD. Установить, что точки О, /, J лежат на прямой линии и что существует окружность, касающаяся сторон четырехугольника OBIJ.
4°. Предположим, что AB — сторона правильного треугольника, вписанного в окружность (O)9 a AD — сторона квадрата, вписанного в окружность (О). Выразить в функции R длины х = BE и у = DF.
52. Дан прямоугольный треугольник ABC с катетами AB = 3 и AC= 4. Построим окружность (О), проходящую через точку А и касающуюся гипотенузы в точке В. Построим окружность (О'), также проходящую через точку А и касающуюся гипотенузы в точке С.
Г. Доказать, что точки O9AhO' лежат на одной прямой. Доказать,
что окружности (О) и (ОО касаются в точке А. 2\ Доказать, что медиана AM треугольника ABC касается (О') и (О). 3°. Доказать, что OB- (УС = AM2-
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 249
53. Доказать, что если окружность девяти точек касается одной из сторон треугольника, то этот треугольник равнобедренный. Верно ли обратное положение?
54*. Даны окружности (О) и (О') с центрами О и О', касающиеся внутренним образом в точке Н. Радиус окружности (О) равен R, радиус окружности (О') равен R'; при этом Ry-R'. Пусть P — произвольная точка общей касательной к окружностям (О) и (О') в точке Н. Через точку P проводят две секущие; одна пересекает окружность' (О) в точках А и В, другая пересекает окружность (О') в точках А' и В'.
1°. а) Доказать, что точки А, В, А', В' лежат на одной окружности (С).
б) Построить центр / этой окружности и показать, что он является точкой пересечения двух прямых, проходящих через две фиксированные точки.
в) Рассмотреть случай, когда секущие PAB и РА'В' являются соответственно касательными PT и PT к окружностям (О) и (O'). Каково в этом случае положение центра / относительно окружностей (О) и (О').
г) Доказать, что . между IO и 10' существует, в последнем случае, простое соотношение.
2\ Секущие PAB и РА'В' перемещаются параллельно самим себе; доказать, что центр окружности (АВА'В') при этом фиксирован. 3°. Предположим, что PAB проходит через О, а РА'В' — через (X Доказать, что окружность с диаметром IP проходит через О и О' [I3 как и выше, — центр окружности (АВА'В')]. На какой линии располагается центр С окружности (ЮО'Р), если P описывает общую касательную к окружностям (О) и (О'). Пусть L — проекция / на 00', К — середина 00'. Доказать, что К — середина LH. На какой линии располагается точка / при изменении точки Р? 55*. Пусть H — основание высоты АН треугольника ABC. Обозначим через / и J точки, соответственно симметричные точке H относительно BA и АС. Пусть прямая IJ пересекает AB и AC соответственно в точках С и В'. Доказать,*что BB' и CC — высоты треугольника ABC.
