Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
a (M, O2) O1 = 20[O2" • КМ,
где (O1)—'Произвольная окружность пучка (F), а К — проекция точки M на радикальную ось окружностей (Oi) и (O2). 3°. Доказать, что необходимое и достаточное условие того, что точки M и M' лежат на одной и той же окружности (О) пучка (F), может быть записано в виде
о (Af, O)O1 KM a (M', O)O1
т.*е. для того, чтобы две точки M и M' плоскости лежали бы на одной и той же окружности пучка (F), необходимо и достаточно, чтобы отношение их степеней по отношению к произвольной окружности (O1) пучка (F) было бы равно отношению ориентированных расстояний этих точек до радикальной оси пучка. 4е Доказать, что для того чтобы точка M лежала на данной окружности (O3) пучка, необходимо и достаточно, чтобы отношение ее степеней относительно двух произвольных окружностей (O1) и (O2) этого пучка было равно отношению ориентированных расстояний от центров O1 и O2 до центра O3:
1 (М. O3) Oi OjO3 °~(М, O3)O2"™ •
5е. Доказать, что геометрическое место точек, отношение степеней которых относительно двух данных окружностей (O1) и (O2) равно данной величине k, есть окружность (О) пучка (F) [определяемого окружностями (O1) и (O2)], центр которой определяется соотношением
0O2
6°. Пусть (O1) и (O2) — две произвольные окружности, P и N — их центры подобия. Доказать, что окружность, построенная на PN как на диаметре, принадлежит к пучку окружностей, определяемому окружностями (O1) и (O2).
238
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
10*. Пусть (С)— окружность с центром О и радиусом /?. Возьмем внутри окружности (С) произвольную точку J, отличную от центра О, и проведем через точку J прямую, перпендикулярную прямой OJ; точки пересечения этой прямой с окружностью (С) обозначим через CnD. Пусть световой луч, выходящий из произвольной точки А окружности, отразившись в точке J от диаметра OJ, встречает окружность (С) в точке В.
1°. Доказать, что прямая AB проходит через фиксированную точку. 2°. Пусть M— середина AB. Доказать, что AB — биссектриса угла CMD. 3°. Обозначим через т и8 точки встречи данной окружности с прямой ОМ. Пусть а—точка пересечения прямых C^ и Dd, а ?— точка пересечения прямых Со и Df. Доказать, что а, ?, f, 3 суть центры окружностей, вписанной и вневписанных в треугольник CMD. Найти геометрическое место этих точек при условии, что точка А описывает данную окружность (С). 4°. Доказать, что окружность, описанная вокруг треугольника CMD, проходит через середины шести отрезков: a?, a*[, ao, ?-f, ?o, -[3. Доказать, что окружности, описанные вокруг треугольников a?f, ?fo, ^a и Sa?, имеют один и тот же радиус; найти этот радиус.
Каково геометрическое место центров окружностей, описанных вокруг указанных четырех треугольников?
11**. Рассмотрим на плоскости взаимно-перпендикулярные оси Ox пОу и треугольники МОМг, для которых ось Ox служит биссектрисой внутреннего угла МОМг, причем OM' = 20Л1. Эти треугольнику будем называть треугольниками (T).
1°. Пусть I — точка пересечения ММГ с осью Ох, т — проекция точки M на ось Ох, а тг — проекция на ось Ox точки M'. Изучить четверку точек О, /, т, т'. Изучить четверку точек, состоящую из точки О и точек А, А' и В — пересечения с осью Ox медиатрис треугольника MOM'
2°. Построить треугольник (T), удовлетворяющий следующим условиям:
а) задана прямая, проходящая через точки M и М'\ в) задана середина P отрезка ММГ;
б) задан центр со окружности, описанной вокруг треугольника MOM'. 3°. Пусть точка M описывает окружность (С), касающуюся в точке О
оси Ох. Найти геометрическое место точек M', соответствующих точке M [таких, что МОМг — треугольник (T)]. Доказать, что каждая из медиатрис треугольника (T) проходит через фиксированную точку. Найти геометрическое место центров ш окружностей, описанных вокруг треугольника (T).
4° Пусть окружности, описанные вокруг треугольника (T), проходят через фиксированную точку В оси Ох. Найти геометрическое место точек Al и M' и место середины P отрезка ММГ. 12**. Рассмотрим на плоскости все линии (С) второго порядка с данным эксцентриситетом е, данным фокусом F, директрисы (D) которых, соответствующие фокусу F, проходят через данную точку I. 1°. Найти геометрическое место вершин этих линий. 2°. Пусть (C1) и (C2) — две линии данного семейства, директрисы которых взаимно-перпендикулярны.
а) Найти геометрическое место точек пересечения линий (C1) и (C2).
б) Найти геометрическое место точек пересечения направляющих окружностей линий (C1) и (C2). Изучить огибающую общих касательных к линиям (C1) и (C2). При каком условии существует эта огибающая, каков ее вид в зависимости от различных значений е?
13*. Рассмотрим треугольник ЛВС. Обозначим через (U) окружность, которая проходит через точки AnBn центр / которой расположен на АС;
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
239
через (V) обозначим окружность, которая проходит через точки AnC и центр J которой расположен на AB; наконец, через (W) обозначим окружность, описанную вокруг треугольника ABC, а через К— ее центр. 1°. Построить треугольник ABC, зная /, J, К.
