Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
а) прямая переходит в прямую;
б) плоскость переходит в плоскость.
26. Рассмотрим связку прямых и плоскостей в пространстве с центром Произведем сдвиг пространства относительно какой-нибудь фиксированной плоскости тг связки по направлению какой-нибудь фиксированной прямой / связки, лежащей в плоскости тг. Тогда каждая прямая связки перейдет в прямую связки, а каждая плоскость связки перейдет в плоскость. В этом преобразовании все прямые связки, лежащие в плоскости тг, будут неподвижны. Кроме того, если а и а' — прямая связки и ей соответствующая, то прямые а, а' к I будут лежать в одной плоскости. Проводя произвольную секущую плоскость, не проходящую через центр S связки аналогично тому, как это было сделано в задаче № 24, определим преобразование секущей плоскости, ставя в соответствие произвольной точке А секущей плоскости точку А' такую, что прямая SA' получается из прямой SA в результате указанного преобразования сдвига. Это преобразование секущей плоскости называется параболической гомологией. В силу свойств сдвига пространства относительно плоскости и определения параболической гомологии мы можем заключить, что:
а) в параболической гомологии есть прямая — ось гомологии, каждая точка которой переходит в себя; других неподвижных точек в параболической гомологии нет;
б) среди неподвижных точек параболической гомологии есть одна" точка L (центр гомологии) такая, что если А — произвольная точка плоскости, а А' — точка ей соответствующая в параболической гомологии, то точки А, А' и L лежат на одной прямой.
§ 10. СМЕШАННЫЙ ОТДЕЛ
229
Доказать, что:
а) при параболической гомологии прямая переходит в прямую;
б) параболическая гомология вполне задана, если задана ось / гомологии, центр L гомологии и пара соответственных точек Л и Л' (таких, что Л, Аг и L лежат на одной прямой), т. е. тогда можно геометрически для каждой точки В построить точку В', ей соответствующую. Как выполнить это построение?
в) Во что обращается параболическая гомология, если ее центр — бесконечно удаленная точка (т. е. секущая плоскость параллельна прямой /, по направлению которой производился сдвиг пространства)?
г) Во что обращается параболическая гомология, если ее ось (следовательно, и центр) — бесконечно удаленная прямая (т. е. секущая плоскость параллельна плоскости, относительно которой производится сдвиг)?
27. Пусть С — окружность, I1 и U—две параллельные касательные к этой окружности, S1 и .S2 — точки прикосновения. Возьмем на окружности произвольную точку Л, соединим эту точку с точкой S2 и на отрезке S2A возьмем произвольную точку В. Соединим точку В с точкой S1 и пусть прямая S1B пересечет окружность С в точке А1'. Рассмотрим гомологии Гх и Г2; одна Гх — с центром S2, осью гомологии I19 которая точку Л переводит в точку В; другая гомология Г2 — с центром S19 осью /2, которая точку В переводит в точку А'. Выполняя над точками плоскости сначала гомологию Г19 а затем гомологию Г2, мы сможем утверждать, что точка Л окружности С перейдет в точку А' той же окружности. Доказать, что:
а) любая точка окружности С в указанном произведении гомологии перейдет в точку той же окружности; *
б) все внутренние точки окружности перейдут во внутренние точки;
в) внешние точки перейдут во внешние (указанное произведение гомологии есть движение в плоскости Лобачевского, если последнюю интерпретировать как круг, хорды круга — как прямые плоскости Лобачевского и т. д.; см., например, статью Делоне Б. Н. в журнале «Математика в школе» № 6 за 1947 г.).
§ 10. Смешанный отдел
1. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и медиане одного и катетов.
2. Построить прямоугольный треугольник по высоте, опущенной из вершины прямого угла, и разности острых углов.
3. Построить правильный треугольник по трем отрезкам — расстояниям от точки, взятой внутри треугольника, до его сторон.
4. Построить прямоугольный треугольник по данной гипотенузе с и высоте h, опущенной на гипотенузу. Найти длины катетов и выяснить, при каком соотношении между с и h задача возможна.
б. В данный треугольник вписать параллелограмм так, чтобы две его вершины лежали на основании треугольника, а две другие вершины — на боковых сторонах этого треугольника.
6. Построить треугольник, зная на плоскости положение трех точек, являющихся центрами квадратов, построенных на сторонах треугольника и расположенных вне треугольника.
7. Вписать в квадрат правильный треугольник так, чтобы одна из сторон была параллельна данной прямой.
St. В точке A9 находящейся на расстоянии а от центра круглого биллиарда \ радиуса R, лежит упругий шарик, размерами которого можно пренебречь. В какую точку В нужно его пустить, чтобы, дважды отразившись от борта, он снова вернулся в точку Л?
230 Планиметрия. Гл. XIX. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ
9, В данный треугольник вписать прямоугольник с диагональю данной длины.
10. Построить треугольник по основанию, высоте и разности углов при основании.
11. Даны точки А, В и С. Через точку А прозести прямую так, чтобы сумма расстояний от точек В и С до этой прямой была равна заданному отрезку.
