Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
45. Построить треугольник по его периметру 2р, одной из высот ha и радиусу г вписанного круга.
46. На плоскости даны прямая и по одну сторону от нее две точки. Найти на данной прямой точку, сумма расстояний от которой до двух данных точек равна данной величине d.
47. Построить ромб при условии, что две его противоположные вершины лежат в данных точках, а третья вершина лежит на данной окружности.
48. Построить трапецию по ее боковым сторонам, углу между продолжениями боковых сторон и углу между диагоналями.
49. Дан произвольный выпуклый четырехугольник. Вписать в него квадрат и описать вокруг него квадрат.
50. Через четыре данные точки провести четыре прямые так, чтобы они образовали прямоугольник с заданным углом между диагоналями.
51. Построить четырехугольник ABCD по заданным диагоналям AC и BD1 углам ВАС и BCD и углу между диагоналями.
52. Дан треугольник ABC. Найти точки A1, B1, C1 так, чтобы вокруг шестиугольника AC1BA1CB1A можно было описать окружность и чтобы в него можно было вписать окружность.
232 Планиметрия. Гл. XIX. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ
53. Точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника проектируется на его стороны. Зная проекции, построить четырехугольник.
54. Построить квадрат, три вершины которого лежали бы на трех данных параллельных прямых.
55. Из четырех подобных (неравных) прямоугольных треугольников составить прямоугольную трапецию.
56. Биллиард имеет форму острого угла величины а, стороны которого продолжены достаточно далеко в одном направлении. Из некоторой внутренней точки А под углом ? к одному из бортов пущен упругий шарик, размерами которого можно пренебречь. Выяснить, как происходит отражение шарика от бортов в зависимости от величин а и ?. Найти условия, при которых 1) шарик после нескольких отражений от бортов начинает двигаться в обратную сторону; 2) отражение от бортов прекращается и шарик вылетает из биллиарда; 3) шарик проходит вновь через точку А.
57. Дана прямая I и вне ее точки А и В. Найти на прямой / такую точку М, чтобы угол, образуемый лучом MA с прямой /, был вдвое больше угла, образуемого лучом МБ с той же прямой /.
58. Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Построить три окружности, пересекающиеся попарно ортогонально, центры которых находятся в данных точках.
59. Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Принимая их за центры, построить три окружности, которые касались бы друг друга.
60. Построить окружность, которая из вершин данного треугольника видна под данными углами.
61. Дана полуокружность. Другая окружность проходит через ее центр и внутренне ее касается. Построить окружность, касающуюся данных окружностей и диаметра данной полуокружности.
62. Из концов данной хорды провести две параллельные между собою хорды, сумма длин которых равна данному отрезку.
63. На основании ВС треугольника АБС найти точку D такую, чтобы окружности, вписанные в треугольники ABD и ADC1 взаимно касались.
64. Даны точки А и В по одну сторону от данной прямой KL и точка С по другую сторону от этой прямой. Найти точки пересечения данной прямой с окружностью, проходящей через эти точки, если центр этой окружности недоступен.
65. В данную окружность вписать треугольник так, чтобы две его стороны были параллельны данным прямым, а третья проходила бы через данную точку.
66. Дана окружность. Даны также пересекающиеся хорды AB и CD этой окружности. Найти на дуге AB точку X такую, чтобы прямые XC и XD отсекали на хорде AB отрезок данной длины.
67. Даны окружность и две точки. Через эти точки провести окружность так, чтобы она пересекала данную окружность в ее двух диаметрально противоположных точках.
68. На данной прямой найти точку, из которой одна из двух концентрических окружностей видна под углом втрое большим, чем другая.
69. Дана прямая MN, окружность (О) и точки А и В на ней. Найти на окружности такую точку X, чтобы прямые AX и BX отсекали на прямой MN отрезок данной длины.
70. Построить окружность, касающуюся данной окружности и данной прямой в заданной на этой прямой точке.
71. В плоскости треугольника АБС с углом при вершине, равным 120°, найти точку, сумма расстояний которой до сторон треугольника имеет наименьшее значение. н,
72. В плоскости треугольника АБС с углом при вершине, превышающим 120?, найти точку, сумма расстояний которой до вершин имеет наименьшее значение.
§ 10. СМЕШАННЫЙ ОТДЕЛ
233
73. В данный треугольник поместить центральносимметрический многоугольник наибольшей площади.
74. Через вершину А треугольника ABC провести прямую так, чтобы сумма расстояний ее от вершин CuB была наибольшей.
75. На стороне ВС треугольника ABC найти точку, сумма расстояний которой до двух других сторон имеет наименьшее значение.
76. На стороне ВС треугольника ABC найти точку, сумма расстояний которой до двух других сторон имеет наибольшее значение.
77. Вокруг данного прямоугольника описать четырехугольник наибольшей площади.
78. Из всех трапеций, описанных вокруг данной окружности, найти трапецию наименьшей площади и наименьшего периметра.
