Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
Доказать, что если в треугольнике ABC угол В в два раза больше угла С и сторона ВС фиксирована, то точка А описывает гиперболу (H2) с фокусом В, директриса которой есть медиатриса отрезка ВС.
Доказать, что точки пересечения (H1) и (H2) можно построить при помощи циркуля и линейки. 27. Пусть задан отрезок ВС длиной а, О — его середина, D — точка этого отрезка такая, что
На перпендикуляре в точке D к отцезку ВС откладывают отрезок DH =1(1= соті); через точку H проводится секущая, пересекающая в точках M и N перпендикуляры к ВС, проведенные в точках В и С, причем BM •CN = I2 = DH2.
1°. Доказать, что BM = ml и CN = . Установить, что перпендикуляр из С на DN и перпендикуляр из В на DM пересекают DH в одной и той же точке А. Вычислить DA в функции а, / и т. Пусть А' — точка, симметричная точке А относительно ВС. Что можно сказать о расположении точек В, Н, С, А'? Каково положение точки А относительно треугольника BHCi
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
243
2°. Вычислить площадь S1 трапеции BMNC и площадь S2 треугольника MDN в функции а, I и т. 3°. Вычислить тангенс угла MDN в функции а, I к т. 4°. Положим OD = x. Выразить т в функции х и найти геометрическое место точек А, когда D описывает отрезок ВС. 28**. Пусть ABC — равнобедренный треугольник (AB = AC) и Af-какая-нибудь точка, лежащая на его стороне ВС. Построим окружности, проходящие через точку Af и касающиеся прямой AB в точке В, а прямой AC — в точке С Пусть D и E— их центры, a N — вторая их общая точка. Точка Af — переменная точка, описывающая отрезок ВС.
1°. Доказать, что сумма радиусов построенных окружностей постоянна и что медиа гриса отрезка DE проходит через фиксированную точку.
2°. Найти геометрическое место середины отрезка DE. Устанозить, что DE касается фиксированной параболы и что точка прикосновения есть центр отрицательной гомотетии окружностей (D) и (E).
3° Доказать, что прямая MN проходит через точку А и что AM • AN =const.
Найти геометрическое место точек N. 4°. Указать, во что преобразуется конфигурация при инверсии (N, NA • NM). 29**. Доказать, что условие AB = AC есгь необходимое и достаточное услозиз того, что окружность, проходящая через основание А' биссектрисы внутреннего угла А и через основания B^ и С[ биссектрис внешних углов В и С треугольника ABC1 касается стороны ВС. 30. Выпуклый многоугольник, имеющий 2/г сторон, вписан в окружность (С), причем его стороны равны поочередно а и Ъ.
1°. Даны: п, а, Ъ (?<#). Определить угол а, под которым из центра С видна сторона длиной а, и угол ?, под которым из центра С видна сторона Ь\ вычислить диаметр d окружности (С). 2°. Дано число 2п сторон и периметр 2р многоугольника. Найти максимум и минимум площади многоугольника при всевозможных значениях а и Ь.
31**. Через произвольные точки Af, N1 P1 расположенные соответственно на прямых BC1 CA и AB1 проходят прямые, параллельные данной прямой (А), которые пересекают высоты AA', BB' и CC треугольника ABC соответственно в точках Af', N', P'. Доказать, что касательные в точках A't В' и С к окружностям (MA'M'), (NB'N') и (PCP') пересекаются в одной точке, и определить геометрическое место этих точек при условии, что прямая (А) вращается вокруг некоторой точки.
32. Дан равносторонний треугольник и произвольная прямая, лежащая в плоскости этого треугольника. Пусть а, Ь, с — расстояния от вершин этого треугольника до этой прямой. Доказать, что сумма а (а—Ь)-\-Ь(р—с)-\--\-с(с — а) постоянна. Обобщить.
33. На прямой заданы отрезок AB —а и .точка С на AB1 расположенная между А и В. Положим АС = 2х. Пусть О — середина АС. Построим полуокружность с диаметром AC Обозначим через D точку прикосновения касательной, проведенной из ? к этой полуокружности, через E—точку, в которой прямая BD пересекает перпендикуляр к AB в точке А. Пусть, наконец, / проекция D на AB.
1°. Что можно сказать про треугольники BAE и BDO? Вычислить ВО, BD1 AE, BE в функции а п х.
2°. Вычислить длины отрезков OI и А1\ изобразить графически функцию у = AI как функцию от х при условии, что С описывает отрезок АВ\ положить при этом а =^2.
3°. Фигура вращается вокруг AB. Вычислить площади S1 и S21 описанные соответственно отрезком BE и дугой AD. Определить х так,
16*
244
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
чтобы -5^- —-ш. где т — данное положительное число. Исследовать;
і
рассмотреть частный случай: т = ~^ш
34*. Даны две взаимно-перпендикулярные оси Ox и Oy и прямая (D)1 уравнение которой у = г. Переменная окружность (С) имеет постоянный радиус г и центр P на прямой (D); положение центра определяется углом (Ox, OP) = ср. Для каждого положения окружности (С) строится два равнобедренных треугольника OAB (OA == AB), три стороны которых касаются (C)1 причем вершина В лежит на оси Ох. 1°. Для одного из этих треугольников окружность (С) вневписана в угол О или в угол В. Каково геометрическое место соответствующих точек Л? 2°. Для второго треуюльника ABC окружность (С) либо вписана в треугольник OAB (как на черт. 74). 4e т 74 либо вневписана в угол А. Как различить эти
