Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
два случая в зависимости от значений ср? 35. Биссектриса внутреннего угла А треугольника ABC пересекает сторону ВС в точке D. Пусть ^BAC = 2а. Точки В и С проектируются на AD; их проекции обозначим соответственно через ? и if-1°, Доказать, что
1.1 2 cos а
AB 1 AC ~ AD
Пусть XAy — фиксированный угол величиной 2а. Ha полупрямых Ax и Ay берутся соответственно точки В и С такие, что
1 . 1 _ 2
AB AC ~ т 1
где т — заданное положительное число.
а) Доказать, что прямая ВС проходит через фиксированную точку.
б) На полупрямых Ax и Ay берут еще пару точек В' и С таких, что
AB - AB' = AC • AC' = k2,
где k — данное положительное число.
Доказать, что окружность, описанная вокруг треугольника АВ'С% проходит через вторую фиксированную точку F1 г прямая В'С остается касательной к некоторой фиксированной параболе с фокусом F.
3°. При данных п 2° положим ADB = 6.
а) В каких пределах могут изменяться 6 и sin 6?
б) Вычислить DB и Dt в функции AD1 а и 6. Доказать* что
??_ A D sin 6 sin 2а
sin2 O — bin2 а*
«
36*. Даны окружности (Г) и (Г'); R и R' — их радиусы, d — расстояние между центрами О и О'; (?)— образ (F) в инверсии (О', R'2) и (?')— образ окружности (F') в инверсии (О, R2).
1°. Вычислить в функции R1 R' и d радиусы гиг' окружностей (j) и (-[')• Обозначим через шиш' центры этих двух окружностей; вычислить Осо и О'со'; положительное направление на прямой ОО' устанавливается от О к О'.
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
245
2°. Показать, что если R Ф R', то из г = г' следует или
d2 = Rz + R'2 — RR\ (1)
или
d* = R* + R'2 + RR'9 (2)
Сформулировать и доказать обратное положение. Доказать, что при любом из указанных двух предположений окружности (Г) и (P') пересекаются. Обозначая через А точку их пересечения, вычислить угол ОАО'. 3°. Доказать, что если выполнено или (1), или (2), то окружности (у)
и (у') совпадают. Вычислить в этом случае отношение ^2= и указать,
какое положение занимает при этом точка ш. 37**. В плоскости дан отрезок AB = а прямой. Переменная точка M этого отрезка задается расстоянием AM = х. С одной стороны от AB построены два равносторонних треугольника:*АРМ и MQB; соединим точки PhQ. 1°. Определить х, если длина PQ задана. Исследовать. 2°. Найти геометрическое место середин О отрезка PQ. Показать, что медиатриса отрезка PQ проходит через фиксированную точку /. Какова огибающая PQ? Что можно сказать про окружности, описанные вокруг треугольника PMQ? Каково геометрическое место центров окружностей, описанных вокруг треугольников CPQ, где С — четвертая вершина параллелограмма, для которого Р, М, Q — три последовательные вершины. 3°. Построить геометрически PQ, зная лишь направление PQ. Построить
геометрически PQ, зная длину / этого отрезка? 4°. Продолжение PQ пересекает AB в точке S. Доказать, что окружности с центром .S радиусом SAI образуют пучок окружностей. 38. Доказать, что если а, Ь, с п г, га, гъ, гс — длины сторон треугольника и радиусы вписанной и вневписанных в него окружностей, то
abc^ ^!^|^
39**. В плоскости задана ось Ох, О — начало координат. На этой оси фиксирована точка I0 с положительной координатой а. Пусть (D) и (D')— две прямые, проходящие через О и образующие с Ox углы, соответственно
равные у и — — . Перпендикуляр (А) в точке I0 к Ox пересекает (D)
в точке A0, a (D') — в точке B0.
1°. Пусть дана точка / на прямой (А); построить геометрически прямолинейный отрезок AB с серединой /, концы которого AnB лежат соответственно на прямых (D) и (D').
2°. Доказать, что когда / изменяется, оставаясь на прямой (А), то переход от точки А к точке В может быть совершен вращением вокруг некоторого фиксированного центра F. Определить построением точку F и угол поворота. Какова огибающая прямых AB?
3°. Пусть (у)— окружность, касающаяся FA в точке А и FB в точке В. Найти геометрическое место ее центра, когда / описывает (А). Доказать, что если P — какая-нибудь точка, лежащая на окружности (у), PF
то отношение -JJJ постоянно; найти эту постоянную. Получить отсюда
геометрическое место (Г), когда / описывает (А) точек MnM' пересечения окружности (7) и параллели Ох, проведенной через /. Установить, что в точках M и M' линия (Г) касается окружности (у). 40**. В плоскости задана окружность (С) с центром О и радиусом R.
1°. Пусть M -- какая-нибудь точка плоскости, з (D) — какая-нибудь прямая, проходящая через М. Построить окружности (а) и (?),
246
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
проходящие через M и касающиеся прямой (D) и окружности (С) (можно использовать инверсию с полюсом в М). Пусть А и В — точки прикосновения с (С); доказать, что окружность (AMB) ортогональна к прямой (D) и к окружности (С). 2°. Пусть M' — точка, диаметрально противоположная точке M на окружности (АВМ). Доказать, что геометрическое место точек M при условии, что прямая (D) вращается вокруг фиксированной точки М, есть прямая (т). Каково при этих условиях геометрическое место точек пересечения касательных, проведенных к окружности (ABM) в точках А и В?
