Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Сборник задач по специальному курсу элементарной математики
Автор: Моденов П.С.Издательство: М.: Высшая школа
Год издания: 1960
Страницы: 766
Читать: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381
Скачать:
П. С. МОДЕНОВ
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО СПЕЦИАЛЬНОМУ КУРСУ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ
ВЫСШАЯ ШКОЛА •196O
П.С. МОДЕНОВ
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО СПЕЦИАЛЬНОМУ КУРСУ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ
Издание второе, дополненное и исправленное
Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия для высших учебных заведений
Государственное издательство
«ВЫСШАЯ ШКОЛА»
Москва— 1960
ПРЕДИСЛОВИЕ
Сборник задач по элементарной математике предназначен в первую очередь для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов и университетов.
Сборник состоит из трех частей:
часть I — Алгебра (главы I—XV);
часть II — Геометрия (главы XVI—XXVI);
часть III — Тригонометрия (главы XXVII—XXX).
В сборник включены задачи по всем основным разделам элементарной математики, а потому он может быть достаточно широко использован преподавателями математики средней школы, а также учащимися средней школы, интересующимися математикой.
Материал по алгебре и тригонометрии расположен в точном соответствии с единственными имеющимися сейчас учебниками С. И. Новоселова по специальным курсам алгебры и тригонометрии *. Названия глав и параграфов, а также порядок их следования в указанных теоретических курсах совпадают, в основном, с названиями глав и параграфов настоящего сборника. Таким образом, систематизация задач по алгебре и тригонометрии проведена в соответствии с теоретическими курсами.
Что касается геометрии, то здесь задачи систематизированы в два раздела— планиметрию и стереометрию. Задачи по планиметрии состоят из 6 глав: гл. XVI — задачи на вычисление, гл. XVII — задачи на доказательство, гл. XXIII — геометрические места точек, гл. XIX — задачи на построение, гл. XX — задачи, в решении которых применяются комбинированные методы, гл. XXI — разные задачи. Задачи на вычисление и доказательство разделены на три параграфа (§ 1—треугольник, § 2— четырехугольник, § 3 — окружность); классификация задач на построение та же, что и в книге «Сборник задач на построение» И. И. Александрова (Учпедгиз, 1934); большинство задач (§ 1—8, гл. XIX) заимствовано из этой книги.
Задачи по стереометрии систематизированы также по их типу: гл. XXII — задачи на вычисление, гл. XXIII — геометрические места точек, гл. XXIV — задачи на доказательство, гл. XXV—разные задачи, гл. XXVI—планиметрия со стереометрией. Задачи внутри гл. XXII систематизированы по виду фигур (§ 1—прямые и плоскости в пространстве, § 2— треугольная пирамида, § 3 — многоугольные пирамиды, § 4 — призмы, § 5 — куб и т. д.).
При подборе задач, при составлении указаний и решений к ним я стремился' поместить возможно больше задач разнообразных типов и указать на методы их решения, не распространенные в имеющихся сборниках задач. К подобного рода задачам по алгебре относятся, например, задачи, помещенные в § 1 гл. III, где преобразование иррациональных выражение сочетается с понятием абсолютной величины числа. Сюда же следует отнести многие задачи гл. IV (§ 1 — эквивалентность уравнений, § 3 — эквивалентность неравенств и смешанных систем).
* С. И. Новоселов. Специальный курс элементарной алгебры. Изд.-во «Советская наука», 1956; С. И. Новоселов. Специальный курс тригонометрии. Изд.-во «Советская наука», 1957.
1*
4
ПРЕДИСЛОВИЕ
Новым понятием является- полезное для решения задач понятие смешанной системы, введенное С. И. Новоселовым, которое очень удобно применят^ как инструмент исследования во многих задачах, связанных с решением уравнений (особенно иррациональных), систем уравнений и неравенств (гл. VI, § 10, 11, 12 и др.). Имеются и задачи нового типа. К ним относятся задачи на линейные неравенства (§ 3, гл. V). До некоторой степени новым можно считать выделение уравнений и систем, содержащих параметры. Здесь я старался в указаниях и решениях провести тщательные исследования, учитывая область изменения параметров, не ограничиваясь формальными преобразованиями, дающими верное решение лишь «вообще говоря». При решении задач, содержащих параметры, следует всегда учитывать влияние на результат области изменения параметров.
В гл. VIII даны элементарные приемы исследования элементарных функций; это позволяет решать единообразно многие задачи на наибольшие и наименьшие значения.
В главах XIII (индукция), XIV (необходимость и достаточность) и XV (разные задачи) читатель также найдет задачи, новые по постановке вопроса и методам их решения. В геометрии, в разделе I (планиметрия), даны сведения об измерении отрезков и углов как положительными, так и отрицательными числами. Здесь же сформулирована теорема Шаля (и для длин отрезкоз, и для величин углов), причем для случая величин углов продемонстрировано применение этой теоремы к решению задач; отсюда видна возможность решать конструктивные задачи геометрии общим мето том, не опираясь на чертеж. Метод этот может быть очень широко применен в геометрии, он носит аналитический характер, причем решение не теряет своей геометричности. Общность достигается тем, что некоторые утверждения геометрии, искусственно разъединенные между собою, объединяются в одно понятие, или утверждение (таково, например, понятие степени точки относительно окружности). В указаниях к планиметрии даны образцы решения задач общими методами, мало распространенными в нашей учебной литературе (применение перспективы к решению планиметрических задач, различные искусственные приемы, носящие до известной степени характер общих методов, и т. д.). Ряд задач представляет собою набор нескольких связанных между собою вопросов; решение этих задач потребует от читателя умения провести небольшое самостоятельное исследование. У большинства таких задач имеются решения; эти решения даны почти всегда с подробными исследованиями; иногда к одной задаче даются различные методы решения: .геометрический, алгебраический и с применением тригонометрии; результаты исследований сопоставляются. Здесь читателю следует обратить особое внимание на исследование задач с применением тригонометрии, так как при приложении тригонометрии к геометрии исследований обычно не проводят (это в основном относится к гл. XXX). Если задачи повышенной трудности * вызовут большие затруднения, то рекомендуется прочитать их решения; это, без сомнения, принесет пользу, так как, во-первых, решения составлены очень кратко и читателю остается над чем подумать самому, во-вторых, в решении задач указанного типа читатель познакомится с новыми приемами и методами.
