Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
4°. Изучить окружность, полученную в результате инверсии I(H, Ak2) окружности с диаметром ВС Подсчитать радиус этой окружности. Показать, что окружность с диаметром ВС касается двух фиксированных окружностей, симметрично расположенных по отношению к ВС 3. Пусть M1 M2 — две произвольные точки, лежащие на стороне ВС треугольника ABC, N' — произвольная точка, лежащая на стороне С А, и P — произвольная точка, лежащая на стороне AB. Обозначим точки пересечения прямых N'M1 и N'M2 со стороной AB через Q1 и Q2, а точки пересечения прямых РтM1 и P''M2 со стороной AC через R1 и R2. Доказать, что прямые ВС, Q1R2, Q2R1 проходят через одну точку. 4*. Прямолинейный отрезок CD постоянной длины перемещается произвольно по прямой ху между фиксированными точками А и В этой прямой (С — со стороны A; D — со стороны В). Построим полуокружности (O1) и (O2) на AC и DB как на диаметрах, расположенные по одну сторону от прямой ху, затем — полуокружность (О) с диаметром AB по другую сторону от прямой ху. Найти геометрическое место середин PuQ полуокружностей (O1) и (O2), а также геометрическое место середин отрезков SP, SQ и PQ. Найти огибающую прямой PQ.
236
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
б. В плоскости даны две взаимно-перпендикулярные прямые Ox и Oy (черг. 73). На перпендикуляре к плоскости хОув точке О отложен от точки О отрезок OA= \. Через точку А проведен луч, параллельный оси Oy1 и на нем от точки А в положительном направлении оси Oy отложен отрезок AS =1. Рассмотрим переменную прямую Он, проходящую через точку О, но все время остающуюся в плоскости AOx. Пусть H— проекция точки 5 на Ou. Пу:ть M—точка встречи прямой SH с плоскостью хОу и, наконец, пусть P — точка встречи прямых АН и Ох.
1°. Доказать, что точка H описывает окружность (Г) с диаметром OA1 расположенную в плоскости AOx.
2°. Доказать, что PM\\SA. Отсюда следует, что ОР=х и PM = у — координаты точки Ж. Рас-
сматривая отношение -=- и используя свойство AS
прямоугольного треугольника AOP1 доказать, что у = — X2. Пусть (С) — геометрическое место точек М; построить касательную к (С) в точке M1 этой линии с абсциссой OP1 = 1. Черт. 73. 3°. Пусть AK — высота треугольника SAH. Доказать,
что AK — перпендикуляр к плоскости OSH. 6*. A'D — диаметр окружности с центром в точке A; J—точка, лежащая на
радиусе AD, такая, что AJ= ~, где R—радиус окружности. Через
точку J проводится произвольная прямая, пересекающая окружность в точках M и N.
1°. Касательные к окружности в точках M и N пересекаются в точке L Найти геометрическое место точек Ї.
2°. Произведем инверсию с центром в точке J и с коэффициентом инверсии, равным JA • JA'. Обозначим через M'' и N' точки, получающиеся в результате этой инверсии из точек M и N. Геометрическое место точек M' и Nr будет окружностью (В), полученной из данной в результате указанной инверсии. Найти ее центр.
3°. Касательные к окружности (В) в точках M' и N' пересекаются в точке F. Доказать, что точки Е, JnF лежат на одной прямой. Найти геометрическое место (L) точек F. Найти точку, в которой линия (L) пересекает прямую AA'.
4°. Доказать, что существует' охружность (T) с центром в некоторой точке С, касающаяся в точке M данной окружности и в точке AT окружности (В). Доказать, что, когда точка M описызает данную окружность, окружность (T) остается ортогональной некоторой фиксированной окружности.
5°. Найти геометрическое место точек С. 7.* Дана окружность с центром О и точки В и С на окружности. Точка А дзижется по этой окружности; H — точ са пересечения высот треугольник".
1°. Определить геометрическое место точек пересечения медиан треугольника АОН.
2°. Определить геометрическое место оснований D биссектрисы внутреннего угла А треугольника АОН.
3°. Определить положние точки Л, при котором биссектриса AD имеет данную длину.
8*. Даны две окружности радиусов R и R' с центрами в точках О и 0; (OOf = d), пересекающиеся в точках А и В. Точка P описывает окружность (О); M и N — точки пересечения хорд PA и PB с окружностью (О').
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
237
1°. Определить огибающую MN.
2е. Определить геометрическое место центра окружности, описанной вокруг треугольника PMN, геометрическое место точки пересечения его высот и геометрическое место его центра тяжести.
3°. Определить положение точки P па окружности (О), при котором
MA_ЛМ
MB NB *
4°. Определить положения точки Р, при которых окружность, описанная вокруг треугольника PMN, пересекает окружности (О) и (С) под равными углами; вычислить величину этих углов.
1°. Пусть M — произвольная точка плоскости. Доказать, что разность степеней точки M относительно окружностей (О) и (О') с центрами О и О' равна 200' - КМ, где К — проекция точки M на радикальную ось окружностей (О) и (О').
2°. Рассмотрим пучок (F) окружностей и пусть (А) — их общая радикальная ось. Будем обозначать через (М, О) какую-нибудь точку М, лежащую на окружности (О) пучка (F), а через с(М, O)O1 — степень этой точки относительно окружности (O1) того же пучка (F). Доказать, что необходимое и достаточное условие того, что точка M лежит на окружности (O2) пучка (F), может быть записано в виде
