Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
2°. Обозначим через H точку пересечения окружностей (U) и (V), отличную от А. Доказать, что центр К окружности . (W) расположен на прямой АН.
3°. Предположим теперь, что AB = AC = 2а.
Обозначим 1_ ВАС через 2х. Выразить в функции а и х площадь у треугольника IJK. Изучить изменение этой площади, считая, что угол А принимает всевозможные значения (а — фиксировано). Для изучения площади треугольника IJK положить igx = t. І4**. Точки А, В, С лежат на одной прямой (точка С лежит между точками А и В). Обозначим через AI точку пересечения касательных, проведенных из точек А и В к окружности с центром С и произвольным радиусом х.
1°. Найти геометрическое место точек Af. Доказать, что это геометрическое место есть окружность (Г), центр D которой расположен на прямой AB. Вычислить AD и радиус R этой окружности в функции CA = a, CB = b(a> Ь).
2°. Допустимому значению х соответствует на полуокружности (Г), ограниченной диаметром AB, два положения M и M' точки Af. Составить уравнение второй степени, определяющее длины MA и M1 А в функции а, Ь, х, и вычислить MA и МгА. Вычислить также MB и M'В. Вычислить радиусы р и г/ окружностей, описанных вокруг треугольников MAB и M'AB. Используя инверсию с центром А, дать простое геометрическое построение касательных к этим окружностям в точках А и В, а также в точках M и M'.
а2Ь2
3°. Рассмотреть частный случай х2= а2^^ • Показать, что в этом частном случае углы А и В удовлетворяют одному из соотношений: В±А = ~— и проверить справедливость равенств
MA2 -+- MB2 = 4р2, M'A2 -+- M'В2 = 4р/2.
15. Пусть AOB — квадрант окружности радиуса R. Из точки M дуги AB опускаются перпендикуляры MP на OA и AfQ на OB.
Г. Определить точку M таким образом, чтобы AfP 4~ 2AfQ = /, где / — данное число.
а) Принять за неизвестное OP = х. Исследовать.
б) Дать геометрическое решение и получить снова результаты предыдущего исследования.
2°. Определить Af таким образом, чтобы отношение поверхности сферического сегмента, полученного в результате вращения дуги Af,4 вокруг OA, к поверхности сферического сегмента, полученного
в результате вращения дуги MB вокруг OB, было равно данному положительному числу т.
а) Принять за неизвестное /_ AOM = б и за независимое переменное ig^ = t. Исследовать.
б) Дать геометрическое решение задачи и получить геометрически снова результаты предыдущего исследования.
16**. Даны равносторонний треугольник ABC и точка Р, лежащая на окружности, описанной вокруг этого треугольника. Обозначим через X9Y,Z точки пересечения прямых AP9 BP и CP соответственно с ВС, CA и AB. Проведем через X, Y, Z прямые XZ', YX', ZY', параллельные соответственно CA1 AB и ВС (X — лежит на BC9 Y' — на CA9 Z' — на AB).
240
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
Г. Доказать, что
Ж J YA ~~ 2°. Доказать, что AX'\\BY'\\CZ'.
3°. Доказать, что треугольники XYZ и X Y'Zr одинаково ориентированы, а их площади остаются равными и постоянными, если точка P описывает окружность (ABC). 17**. Дана окружность (С) с центром О и радиусом R. Пусть AB — фиксированный диаметр этой окружности и (D) — прямая, перпендикулярная AB в точке .H9 расположенной с той же стороны от O9 что и В, причем H и В различны. Дано: OH = d\ точка M описывает прямую (D), прямые MA и MB пересекают окружность (С) вторично в точках P и ,
1°. Доказать, что окружность (Г), описанная вокруг треугольника MPQ, ортогональна окружности (С) (можно использовать инверсию с полюсом Al). Определить геометрическое место ее центра. 2°. Показать, что прямая PQ проходит через фиксированную точку 5 и определить положение точки S относительно (С) и (D). Найти геометрическое место второй точки N пересечения окружности (Г) и окружности, описанной вокруг треугольника MAB. 3(. Пусть со — центр окружности (Г). Ориентируем прямую (D) и положим НМ = х, На) = у. Установить соотношение между х, у, R и d и изучить у как функцию от х в случае d = -^-.
18**. Рассмотрим окружность (С) с центром О и радиусом R и фиксированную точку А на этой окружности. Переменная прямая (А) пересекает окружность (С) в точках M и N. Прямые AM и AN пересекаются соответственно в точках M' и N' с прямой, перпендикулярной АО и проходящей через точку О.
Г. Доказать, что точки M4 N, М\ N' лежат на одной окружности (Г), которая при изменении (А) остается ортогональной к окружности с центром А и радиусом /? )/^2. 2е. Определить радикальную ось двух окружностей (Гх) и (Г2), соответствующую двум положениям (A1) и (A2) прямой (А). 3". Пусть / — центр окружности (Г). Доказать, что если В — какая-нибудь точка (А), разность IA2 — IB2 выражается просто в функции R и OB так, что если прямая (А) проходит через фиксированную точку F9 точка / остается на фиксированной прямой (D). Можно ли получить этот последний результат, опираясь на результаты пункта 2° и минуя вычисление разности IA2 — /В2? Доказать, что (D) есть поляра по отношению к (С) точки F', полученной переносом из F, который переводит AbO [полезнз вычислить расстояние от О до (D)]. 4°. Доказать, что / имеет полярой по отношению к (С) прям}ю (A'), полученную из (А) переносом, переводящим Л в О. 19**. Доказать, что окружность девяти точек треугольника ABC касается четырех окружностей, касающихся сторон треугольника, т. е. впіхінной и вневписанных окружностей (теорема Фейербаха). 20**. Доказать, что окружность, ортогональная трем окружностям, имеющим центрами середины сторон треугольника и проходящим через основания соответствующих высот, касается окружности девяти точек. 21**. Рассмотрим точки H1 F, K9 лежащие на одной прямой, причем F — середина HK. На отрезке FK как на диаметре построена окружность (С). Через точку H проведена прямая, перпендикулярная HFK. Во всем дальнейшем через (d) обозначается переменная прямая, проходящая через
