Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
64*. Даны окружности (O1) и (O2); M и N — точки прикосновения их общей касательной, а / — точка, в которой прямая MN пересекает линию центров этих окружностей. Проведем через точку / произвольную секущую, пересекающую окружности (O1) и (O2) последовательно в точках AhC1D и В. Доказать, что прямые AM9 CM1 BN и DN образуют параллелограмм MENF. Найти геометрическое место его вершин EhF9 если секущая меняется. Доказать, что окружности (AEB) и (CFD) касаются данных окружностей.
65**. На плоскости задана ось х'Ох, О — начало координат. Пусть О'—точка этой оси с абсциссой 5. Обозначим через (О) окружность радиуса 1 с центром О, а через (Of) — окружность с центром О' радиуса 2.
1°. Пусть M—какая-нибудь точка оси х'х. Вычислить в функции OM —-- X степени P и Рг точки M относительно окружностей (О) и (Ог). Вычислить абсциссу точки H9 в которой радикальная ось окружностей (О) и (О') пересекает ось xrX9 и затем степень точки H относительно каждой из данных окружностей. Определить M так, чтобы Pf = kP9 где k — данное число. Исследовать в зависимости от значений k. Доказать, что когда имеется два решения Мг и М"', эти точки соответствуют друг другу (при изменении k) в одной и той же инверсии с полюсом Н. Во что преобразуются окружности (О) и (С) в этой инверсии? 2°. Построить окружность, проходящую через H9 касающуюся окружности (О) и ортогональную окружности (Ог). Пусть (С) — одна из таких окружностей, а (Г) — какая-нибудь окружность пучка, определяемого окружностями (О) и (Ог). Доказать, что существует окружность (Г)'пучка, отличная от (С) и также касающаяся окружности (О). Построить окружность (Г). 3°. Пусть /—одна из предельных точек определенного выше пучка окружностей. Какому условию должна удовлетворять окружность (Г) этого пучка, чтобы существовали две окружности, проходящие через HhIh касающиеся окружности (Г). Найти геометрическое место точек прикосновения этих окружностей с окружностями (Г), если (Г) меняется с сохранением ограничений на это изменение. Построить такую окружность (Г), что две окружности, проходящие через HhI и касающиеся (Г), будут между собою ортогональны. Вычислить радиус этой окружности (Г). 66**. Пусть (D) и (D') — две параллельные прямые, на первой из которых фиксированы две различные точки: О н А. Рассмотрим переменные точки M и Мг прямой (D)1 симметричные относительно точки А.
Г. Построить окружности (С) и (C)1 касающиеся (D'), проходящие через точку О и соответственно через точки M и Mr. Обозначим точки прикосновения окружностей (С) и (С) к прямой (D') соответственно через N и Nf. Доказать, что прямые MN и MrN! пересекаются в фиксированной точке /. Доказать, что вторая точка В пересечения окружностей (С) и (С) расположена на фиксированной прямой; найти <} геометрическое место точек В.
2°. Касательная в точке M к окружности (С) и касательная в точке M' к окружности (С) пересекаются в точке Р. Доказать, что PI является
252
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
биссектрисой одного из углов между прямыми PM и PM' и что PM и PM' огибают фиксированную окружность (Г) с центром /. Доказать, что точка P лежит на прямой ГА', где I' — точка, симметричная точке О относительно /, а А' — точка, симметричная О относительно А. Найти геометрическое место точек Р. Показать, как найти угол между касательными в точке О к окружностям (С) и (С), если задана точка Р. Построить пару точек M и M', симметричных относительно А, так, чтобы соответствующие окружности (С) и (С) были ортогональны; сколько решений имеет эта задача? 3°. Над окружностями (С) и (С) производится инверсия (О, О/2); какую фигуру мы получим в результате этой инверсии? Как построить точку Q, являющуюся образом точки В в этой инверсии? Использовать эту инверсию для построения пары точек M и M', симметричных относительно А, для которой окружности (С) и (С) будут ортогональны.
67*. Рассмотрим окружность (/) с центром / и радиусом R. Произведем инверсию (/, R2).
1°. Во что инвертируется окружность (С), ортогональная окружности (/)?
2°. Рассмотрим фиксированную окружность (C1), касающуюся окружности (/) в точке О, и окружности (С), ортогональные (/) и касающиеся (C1). Доказать, что окружности (С) касаются второй линии (C2), которая, вообще говоря, есть окружность. Пусть M1 и M2 — точки прикосновения окружности (С) с окружностями (C1) и (C2). Что можно сказать про прямую M1M2, когда окружность (С) изменяется? Как следует выбрать окружность (C1) для того, чтобы линия (C2) была бы прямой линией? Обозначим через 00' диаметр окружности (/), ориентированный от О к О', а через R1 R1 и R2 — абсциссы точек /, C1, C2 (О—начало координат). Каково соотношение между R, R1 и R2?
3°. Определить окружности (C1) и (C2) так, чтобы сумма квадратов
Дг + Л- была равна где а — данное число. Доказать, что для Ri R2 а?
всякого значения а, не превосходящего некоторого числа, всегда
существует единственная пара таких окружностей (C1) и (C2). Во что
обращается эта пара окружностей, если а = ?'
