Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
75***. Точка / служит началом отсчета дуг ориентированной окружности с центром О. Пусть M — точка окружности (С) такая, что ориентированная дуга IM = a -f- 2&7с. С точкой M ассоциируется точка P окружности (С) такая,
V-У V—?
что IP = —2IM (черт. 75). Переменную прямую MP обозначим через (А).
Всякая точка окружности (С) может быть и точкой M и точкой Р.
1°. а) Доказать, что через каждую точку окружности (С) проходят три прямые (А). Каково геометрическое место точек пересечения взаимно перпендикулярных прямых (А)? Найти прямые (А), касающиеся (С). Доказать, что существуют еще две точки J и К на окружности (С), отличные от I1 такие, что по отношению к ним прямая (А) может быть определена так же, как и по отношению к точке /.
б) (A1) и (A^)— две произвольные ортогональные прямые (А), ассоциированные с точкой / и пересекающиеся в точке P1. Рассмотрим переменную прямую (А), которая пересекает прямую (A1) в точке Q1 прямую (Aj) в точке q' и окружность (С) в точках P и М. Доказать, что M — середина QO'. Обратно: пусть P1M1 и P1M1 — две взаимно-перпендикулярные прямые, проходящие через точку P1 окружности (С). Рассмотрим переменную точку Q прямой P1M1 и переменную точку Q' прямой P1M1 такие, что середина QQr лежит на (С). Доказать, что прямая qq' есть прямая (А), ассоциированная с (С) и с вершиной треугольника, который требуется определить.
2°. Пусть (A1) — прямая (А), ассоциированная с окружностью (С) и точкой / этой окружности. Доказать, что через какую-нибудь точку Q прямой (A1) проходят еще две прямые: (A) ((A2) и (A3)) — и что для двух точек DnE прямой (A1) эти прямые совпадают. Доказать, что эти двойные прямые ортогональные. Вычислить с точностью до 2kx сумму дуг Ot1, а2, а3, которые характеризуют прямые (A1), (A2), (A3), проходящие через q. Доказать, что эта сумма постоянна; обозначим ее через 0. Обратно: если задана прямая (A1), а прямые (A2) и (A3) определены дугами а2 и а3 такими, что Oc1 —[- а2 —|— а3 = O, то прямые (A2) и (A3) пересекаются в точке прямой (A1). 3°. Пусть (Г) — окружность, описанная вокруг треугольника ЛВС.
а) Из точки 5 окружности (Г) опускают перпендикуляры на стороны треугольника ЛВС. Пусть C1 U и В'— основания этих перпендикуляров (С — на AB1 U — на ВС и В' — на АС). Пусть Н— ортоцентр треугольника. Доказать, что точка A1 симметричная H относительно BC1 лежит на (Г) и что точки В\ U1 С
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
257
лежат на одной прямой. Пусть .S' — вторая точка, в которой прямая SU пересекает (Г). Проверить, что прямые S9A и CUB' параллельны. Доказать, что точки, симметричные с точкой 5 относительно сторон треугольника, лежат на одной прямой, которая проходит через точку Н. б) Пусть V — точка, в которой прямая CUBf пересекает прямую АН. Доказать, что прямые UV образуют семейство прямых (А), ассоциированных с некоторой окружностью, которую требуется определить. Проверить, что все высоты и стороны треугольника ABC входят в это семейство. 76***. В плоскости даны фиксированные точки О и Я; обозначим через (T) любой треугольник этой плоскости, для которого точка О является центром описанной окружности, a H—ортоцентром (т. е. точкой пересечения высот). Обозначим через A9 B9 С вершины треугольника (T)9 а через G — его центр тяжести (т. е. точку пересечения медиан).
1°. Определить геометрическое место вершин треугольника (T). Определить геометрическое место вершин тупоугольных треугольников (T). Определить геометрическое место вершин тупых углов треугольника (T). Назовем через (X) всякую прямую, на которой расположена какая-нибудь сторона треугольника (T). Как можно охарактеризовать множество прямых (X)? Если на плоскости задана точка M9 то можно рассматривать множество прямых (X), проходящих через точку М. Найти геометрическое место точек M таких, что все прямые, проходящие через точку M (за исключением одной) суть прямые (X). Построить треугольник (T), если задана точка M9 через которую проходит сторона ВС, и если задана прямая (ц), на которой расположена вершина А треугольника (T). Найти затем геометрическое место точек М, считая прямую (\i) фиксированной, и охарактеризовать множество прямых (ц), считая точку M фиксированной. Построить треугольник (T), зная, что данная прямая (v) является биссектрисой одного из его углов (внутренней или внешней). Провести исследование. 2°. Рассмотрим множество треугольников (T)9 для которых задан радиус R описанной окружности. Определить геометрическое место вершин таких треугольников (T) и найти огибающие его сторон. Рассмотрим множество треугольников (T), для которых сторона ВС имеет данную длину а. Определить геометрическое место вершин А и огибающую стороны ВС этих треугольников. 77**. Дана окружность (/) с центром / и радиусом г и точка ш, лежащая внутри этой окружности. Через точку о) проведены две взаимно-перпендикулярные хорды: LN и MP. Пусть Аг — середина хорды LP, а А — точка, в которой пересекаются касательные к окружности в точках LnP.
1°. Найти геометрическое место точек А''. Найти геометрическое место ортогональных проекций точки ш на LP. Найти геометрическое место точек А. Найти огибающую прямых LP. 2°. Доказать, что касательные к (/) в точках L9 M9 N9 P образуют вписанный четырехугольник.
