Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
(Ox9 Oy)=J, Ot — полупрямая, делящая угол хОу пополам:
(Ox, OQ = -=-.
На полупрямых Ox и Oy взяты точки FuO такие, что OF = OG = с. Обозначим через (Г) окружность с диаметром FG. Пусть Q — какая-нибудь точка, лежащая на окружности (Г). Всякую прямую FQ9 которая пересекает (Г) в точках P1 и P2 (различных или совпадающих), назовем прямой (А). 1°. При каких значениях с любая прямая FQ будет прямой (А)? В остальных случаях FQ будет прямой (А), если точка О находится на некоторой дуге a? окружности (Г). Пусть хорда a? пересекает Ot в точке А. Найти OA. 2°. Прямая (А) определяет прямые (T1) и (T2), соответственно перпендикулярные (А) в точках P1 и P2. Назовем через H1 и H2 проекции G на прямые (T1) и (T2). Доказать, что какова бы ни была прямая (А), сумма GH\-\-GH\ остается постоянной. 3°. а) Рассмотрим линию второго порядка (эллипс или гипербола) с центром О и фокусами FnF' (FF' = 2с). Пусть Q и G' — образы
точек FnF' при повороте вокруг точки О на Доказать,
что сумма квадратов расстояний от О и G' до касательной к этой линии—постоянная при изменении касательной.
17*
260
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
в) Сформулировать и доказать свойство, обратное предыдущему [3°, а)]. Определить в зависимости от величины постоянной тип линии второго порядка. Рассмотреть частный случай, когда эта постоянная равна 2с2.
4°. Доказать, что общие касательные к двум ортогональным переменным окружностям, центры которых фиксированы, остаются касательными к некоторой линии (L). Что это за линия? Построить ее и указать точку прикосновения к (L) общей касательной к двум окружностям.
82. В плоскости фиксированы точки А и Н. Рассмотрим переменный треугольник с вершиной в A1 ортоцентром в H и такой, что радиус описанной вокруг него окружности всегда равен высоте, опущенной из А.
1°. Найти геометрическое место середин M стороны, противолежащей вершине А.
2°. Найти огибающую окружностей, описанных вокруг этого треугольника.
83. На плоскости задан отрезок AB. Пусть (X) и (рь)— две прямые, ни одна из которых не проходит ни через A1 ни через В и не параллельна AB. Пусть эти прямые пересекаются в точке О, которая не лежит на AB. Переменная прямая (А), параллельная AB1 пересекает прямые (X) и (|i) в точках ChD. Найти геометрическое место точек пересечения диагоналей трапеции, вершины которой A1 B1 C1 D.
84**. Рассмотрим окружность (С) с диаметром AfA = 2а и центром О. Каждой точке M1 окружности (С), проектирующейся на А'А в точку H1 ставится в соответствие точка M отрезка HM1 такая, что НМ\ = 2HM2.
1°. Зная M1 и касательную к (С) в точке M11 построить геометрически точку M и точку T1 в которой касательная в точке M к геометрическому месту (E) точек M пересекает диаметр А'А. Пусть касательная MT пересекает в точке 5 перпендикуляр к ААГ в точке А. Доказать, что OS проходит через середину AM. Построить полюс Мг прямой MT относительно окружности (С). Установить, что ОТНОШе-^Щі лл,
ние ^ * сохраняет постоянную величину и что касательная в точке M'
к геометрическому месту (E') точек Мг есть поляра точки M относительно (С).
2°. На касательной (D) в точке А к окружности (С) берется переменная точка Р. Пусть L — вторая точка пересечения РАГ с окружностью (С); К— проекция L на А'А. Прямая IA1 соединяющая точку А с серединой / отрезка KL1 пересекает АГР в точке M1 а прямая AL пересекает в точке Мг перпендикуляр MH к А1А.
Доказать, что отношение //^ ндг остается постоянным, когда P
описывает (D). Чему равно значение этой постоянной? Вывести отсюда геометрические места (E) и (E') точек M и M' и установить их идентичность с линиями, найденными в п. 1°. 3°. Найти геометрическое место точек Q пересечения AM и А'М'. Построить полюс S прямой AL относительно окружности (С) и доказать, что OS проходит через середину AM. Получить отсюда геометрическое место точек пересечения касательной к (С) в точке L и касательной в точке M к геометрическому месту точек М. Доказать, что можно определить точку M', исходя из переменной точки P' и касательной (D') в точке А' к (C)1 построением, аналогичным тому, которое определяет точку M1 исходя из точки Р.
Каково геометрическое место точек S' пересечения касательной в точке L к окружности (С) и касательной в точке M' к геометрическому месту точек M'? Какое соотношение существует между длинами отрезков AP и A1P'? Где находится точка пересечения прямых PP' и SS'? Получить отсюда огибающую прямых PP'. '
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 261
85. Прямая y'Iy является радикальной осью двух окружностей: (О) и (О'); x'Ix— их линия центров, А и В — точки пересечения этих окружностей. Требуется определить геометрическое место точки пересечения касательной в точке А к окружности (О) с касательной в точке В к окружности (О') при условии: _
1°. Если А и В фиксированы, а произведение IO • 10' постоянно. 2°. Если центры О и О7 фиксированы, а точки А и В меняются на у'у.
86**. I. Рассмотрим фиксированную прямую (D) и фиксированную точку P9 расположенную от прямой (D) на расстоянии 2d. Обозначим через (О) окружность, проходящую через P и пересекающую (D) под углом 6.
