Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
В плоскости дан выпуклый четырехугольник ABCD9 вписанный в окружность (О) радиуса R9 такой, что его стороны AB9 BC9 CD и DA касаются окружности (/) с центром / и радиусом г соответственно в трчках L9 M9 N9 Р. Обозначим через EnF точки пересечения противоположных сторон четырехугольника ABCD9 через Ef и Fr — точки пересечения противоположных сторон четырехугольника LMNP9 а через ш — точку пересечения диагоналей LN и MP. 3°. Где находится полюс прямой AC по отношению к окружности (/)? Доказать, что AC и BD проходят через ш и образуют гармонический пучок с LN и MP.
17 П. С. Моденов
258
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
4°. Доказать, что E1 F1 E', F1 лежат на одной прямой и образуют гармоническую четверку. Установить, что ш есть предельная точка пучка окружностей, определенного окружностями (/) и (О). 5°. Вычислить угол от прямой LN до прямой MP. Доказать, что пря-* мые LN и PM — биссектрисы угла между диагоналями AC и BD. Доказать, что существует эллипс (E) с фокусами / и со, касающийся четырех сторон четырехугольника LMNP. 6°. Показать, что существует бесконечное множество четырехугольников ABCD1 вписанных в (О) и описанных вокруг (/), и что существует бесконечное множество четырехугольников, вписанных в (/) и описанных вокруг (E). Какое соотношение существует между R1 г и расстоянием OI= d, если существует четырехугольник, вписанный в (О) и описанный вокруг (/)? 78*. 1°. Дан треугольник ABC. Плоскость поворачивается вокруг точки А на угол а, а затем вокруг точки В на угол ?. Каковы должны быть углы а и ?, при которых точка С в результате останется неподвижной? Доказать, что произведение следующих вращений;
(A) с центром А на угол 2 (AC1 AB)1
(B) с центром В на угол 2 (BA1 BC)1
(C) с центром С на угол 2 (CB1 CA)
(углы считаются ориентированными, прямые — неориентированные), есть тождественное преобразование, т. е. каждая точка плоскости остается на месте.
2°. а) Пусть (со) и (со') — две равные окружности, пересекающиеся в точках RnS. Пусть произвольная окружность с центром R пересекает эти две окружности соответственно в точках P1 Q и Р\ Q', Доказать, что эти точки можно разделить в пары так, что
(RP1 RPt) = (RQ1 RQt) = COuSt
(постоянная в смысле независимости величины этого угла от радиуса окружности с центром R).
б) Найти геометрическое место середин I отрезков PP' (или QQ').
в) Доказать, что прямая PP' (или QQ') проходит через фиксированную точку.
3°. Пусть M — какая-нибудь точка плоскости, M' — ее образ во вращении (A)1 определенном в п. 1°, а М!! — образ точки M' во вращении (В) [тогда Ж —образ М" во вращении (С)].
а) Вычислить ориентированный угол (M'M1 М'М") в функции ориентированного угла (M'A1 М'В) (прямые не ориентированы).
б) Найти геометрическое место точек M' при условии, что точки М, M' и М" лежат на одной прямой.
в) Охарактеризовать это геометрическое место по отношению к окружности, описанной вокруг треугольника ABC. Найти геометрическое место соответствующих точек M и М".
г) Используя 2°, показать, что прямая MM'М" проходит через фикси- . рованную точку в то время, как точка M' описывает свое геометрическое место.
д) Охарактеризовать положение этой фиксированной точки по отношению к треугольнику ABC.
79*. Даны фиксированные точки О и A1 OA — а (я > 0). Окружность (L) проходит через точки О и А.
1°. Определить на окружности (L) точки M и M' такие, что прямые AM и AM' одинаково наклонены к прямой OA и что произведение AM-AM' имеет данную величину Ь2. Исследовать.
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 259
Во всем дальнейшем мы ограничим себя случаем, когда Ь < а и когда прямая АО — биссектриса угла между лучами AM и AM'. Мы будем предполагать, кроме того, что окружность (L)9 меняясь, постоянно проходит через точки О и Л.
2°. Доказать, что прямая MM' вращается вокруг фиксированной точки / и что геометрическое место точек M и M' есть окружность (Q). Пусть (о и а — точки, диаметрально противоположные точкам OnA относительно (L). Найти огибающую прямых и>М9 шМ', аМ9 аМ' и прямых, симметричных прямой MM' относительно точек о) и а.
3°. Изучить биссектрисы внутренних и внешних углов треугольников AMM' и аММ'. Определить центры окружностей, касающихся сторон каждого из этих треугольников. Найти геометрическое место этих центров при условии, что (L) меняется, но все время проходит через точки А и О.
80**. Пусть даны две окружности: окружность (C1) с центром O1 и радиусом R1 и окружность (C2) с центром O2 и радиусом R2- Пусть в результате какой-нибудь инверсии окружности (C1) и (C2) перейдут в окружности (Cj) и (C^. Обозначим через R[ и Rf2 радиусы окружностей (CJ) и (C2J9 а через 0[ и Og- их центры. Положим O1O2 = d и 0[Or2 = d'. Доказать, что
d*-R?-R? =± «»-/?-/?
Уточнить выбор знака в правой части этого равенства (требуется дать решение, не используя ангармонического отношения четырех точек). 81**. (С) —фиксированная окружность с центром О и радиусом а. Пусть Ox
и Oy — две полупрямые, образующие угол ~:
