Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
1°. Пусть дана директриса (D). Построить вершины A1 А'у B1 В' эллипса (E). Обозначая через и угол (D) с IF1 вычислить длину большей оси AA' этого эллипса. Определить (D) так, чтобы AA' имела данную длину. Исследовать. 2°. Пусть H — проекция F на (D); доказать, что отношения
остаются постоянными, когда (D) вращается вокруг /. Найти геометрические места вершин A1 Л', центра О, второго фокуса F' эллипса (E). Что можно сказать о расположении малой оси и второй директрисы эллипса (E). 3°. Указать, как изменяется треугольник FOB. Найти геометрическое
FA
TH
и
FA'
FH
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
263
место вершин В и В'. Пусть вершина В выбрана на своем геометрическом месте; определить центр, другие его вершины, второй фокус и директрисы эллипса (E)9 конец малой оси которого совпадает с В. 4°. Проведем через точку / касательные к эллипсу (E); пусть Ж и Ж7 — точки прикосновения. Что можно сказать про углы MFI и M'FI? Какие выводы можно сделать о линии (L)1 на которой располагаются M и M'? Возьмем точку M на линии (L); можно ли построить директрису (D) эллипса (E)1 который касается IM в точке М? Найти геометрическое место точек M и Mf. Исследовать фигуру, образованную точками M1 M't F и точкой J1 в которой (D) пересекает (L). Пусть (D) задана; доказать, что J есть центр гомотетии окружностей с центрами M и М'9 которые проходят через F. Построить точки M и M' для данного положения директрисы (D).
Замечание. Для построений рекомендуется взять F7=3 CM1 е — у?_ .
90**. Г. В плоскости даны окружности (С) и (С) с центрами О и О' и радиусами R и R'; 5 — их положительный центр гомотетии. Обозначим через р и р' степени точки S относительно (С) и (С) (будем считать, что р ф 0 и р' Ф 0); обозначим через k степень инверсии с полюсом S, которая (С) преобразует в (С). Доказать, что
K.—L — IL R р k '
2°. Даны точки A1 В и C1 лежащие на одной прямой (С между А и В). Обозначим через (AB)1 (CB) и (АС) полуокружности с диаметрами AB1 CB и AC1 расположенные по одну сторону от прямой ABC. Пусть (D) — прямая, перпендикулярная AB в точке С. Рассмотрим окружность (/) с центром /, касающуюся одновременно (AB)1 (АС) и (D). Во что преобразуется окружность (/) в инверсии (A1 AB • АС)? Во что преобразуется окружность (/) в инверсии (B1 BA • ВС)? Использовать полученные результаты для построения окружности (/) и точек прикосновения (/) с (AB)1 (АС) и (D).
3°. Решить те же вопросы для окружности (J)1 касающейся одновременно (AB)1 (CB) и (D).
4°. Положим AB = Ua1 АС = 2х9 СВ = 2у. Вычислить радиусы R1 и R2 окружностей (/) и (J)1 используя результаты пункта 1°. Какой вывод можно сделать отсюда? Где должна находиться точка С для того, чтобы величины R1 и R2 имели максимальные значения? Чему равны эти максимальные значения? 91. В ориентированной плоскости фиксированы прямая (D) и точка F на расстоянии FH = h от (D). Две полупрямые, выходящие из F9 пересекают (D)
в точках M и M'причем (FM1 FM') = -|~
1°. Уточнить, как могут перемещаться точки M и Mr. Доказать, что центр С окружности (C)1 описанной вокруг треугольника FMM'\ описывает одну ветвь гиперболы (H). Указать положение вершины этой гиперболы, ее центр и асимптоты.
2°. Во что переходит окружность (С) в инверсии (F9 h2)? Изучить изменение фигуры, полученной из (C)9 в результате указанной инверсии. Получить отсюда снова результаты пункта 1°.
3°. Найти геометрические места центров I и I' окружностей, вписанной и вневписанной в угол F треугольника FMM'. Сравнить эти геометрические места с геометрическим местом точек С. Построить касательные в точках / и V к этим геометрическим местам и найти геометрическое место точек их пересечения.
264
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
92**. 1°. Рассмотрим две взаимно-перпендикулярные оси: х'Ох и у'Оу. Пусть P— точка оси х'Ох с абсциссой, равной 1. Переменная прямая (D), проходящая через точку Р, пересекает биссектрису (А) у = х между осями х'Ох и у'Оу в точке М, а биссектрису (АО у = — х — в точке M'.
Пусть (DO — прямая, проходящая через точку P и перпендикулярная (D). Пусть прямая (DO пересекает прямую (А) в точке N, а прямую (АО — в точке N'. Доказать, что PN = PM' и PM = PN'. Доказать, что треугольники PM'N и PN'M могут быть получены один из другого подобным преобразованием, заключающемся в произведении поворота вокруг P на гомотетию с центром Р. Доказать, что окружности, описанные вокруг треугольников PM'N и PN'M, ортогональны.
2°. Прямая (D) вращается вокруг Р; найти геометрическое место проекций P на NM' и на MN', огибающую прямых NM' и MN' и геометрическое место точек Q пересечения NM' и MN'. 93**. 1°. Рассмотрим треугольник ЛВС и точку М, лежащую в плоскости этого треугольника, но не совпадающую ни с одной его вершиной. Пусть Q и R— точки, симметричные точке M относительно сторон ЛС и ЛВ.
а) Доказать, что угол, образованный прямыми AM и медиатрисой QR, имеет те же биссектрисы, что и угол Л треугольника ЛВС.
б) Пусть ЛХ, AY, AZ — три прямые, определяемые следующими условиями:
