Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим в плоскости три фиксированные точки: A1 B1 C1 не лежащие < на одной прямой. Обозначим через (О) окружность, описанную вокруг треугольника ABC; О — центр этой окружности; AX1 BY1 CZ — касательные в точках A1 B1 С к окружности (О) и I1 J1 К — точки, в которых эти касательные пересекают BC1 CA и AB. Обозначим через P1 Q1 R три точки, выбранные соответственно на прямых BC1 CA и AB1 а через (P1 Q1 R) — фигуру, которую они определяют (треугольник или три точки, лежащие на одной прямой, — безразлично).
I. 1°. Доказать, что если точки P1 Q1 R отличны от вершин треугольника ABC1 то окружности (AQR)1 (BRP)1 (CPQ) имеют общую точку S. Во что обращается это предложение, если одна из точек P1 Q1 R стремится к совпадению с одной из точек A1 B1 С? Будем говорить, что таким образом определенная точка .S ассоциирована с фигурой (P1 Q1 R). 2°. Доказать, что и обратно: данной точке 5 плоскости можно поставить в соответствие семейство фигур (P1 Q1 R)1 ассоциированных с этой точкой причем одна из точек P1 Q1 R может быть выбрана произвольно (на соответствующей прямой BC1 CA или AB). Будем говорить, что фигуры (P1 Q1 R)1 так определенные, все ассоциированы с точкой S.
3°. Пусть (P1 Q1R) — одна из фигур, ассоциированная с точкой S; установи^ соотношения, которые существуют: мё&ду ориентированными углами
(SP1 BC)1 (SQ1 CA)1 (SR1 AB); между ориентированными углами
(PQ1 PR)1 (SB1 SC)1 (AB1 АС); между ориентированными углами
(SP, QR) и (SA1 АХ). 4°. Доказать, что необходимое и достаточное условие того, что фигуры (P1 Q1 R) образованы тремя точками, лежащими на одной прямой, заключается в том, что точка .S, ассоциированная с этой фигурой, лежит на окружности (О). UA0. Пусть точка 5 отлична от A1 B1 С к лежит на окружности (О).
и PQ
Доказать, что отношение -=?- имеет одно и то же значение для всех
PR '
фигур (P1 Q1 R)1 ассоциированных с S. Во что обращается это утверждение, если точка 5 стремится к одной из вершин: A1 В или С? 2°. Дано число т. Доказать, что на окружности (О) существует точка 5
PO
такая, что отношение ==-, соответствующее ей, равно т. Дать
PR
построение точки. S. Рассмотрим две точки окружности (О), для которых это отношение равно т и — т. Доказать, что прямая, проходящая через эти две точки, проходит через фиксированную точку,
270 Планиметрия. Гл. XX. ІфМРИНИРОВАННЬЩ МЕТОДЫ
когда т изменяется. Где будут находиться точки S для т *=—1, 2 и «і^^ .
III. В этом разделе мы будем предполагать, что точка S не лежит на окруж-ндсти (О). Через (Р, Q1 R) мы будем обозначать здесь ориентированный треугольник, вершины которого взяты в том порядке, как они записаны.
I9. Доказать, что если точка S фиксирована, то все треугольники (Р, Q1 R)1 ассоциированные с S, подобны и одинаково ориентированы С фиксированным треугольником. Пусть S и S' — две соответствующие друг другу точки в инверсии с центром O9 сохраняющей окружность (O). Доказать, что два каких-нибудь ориентированных треугольника (Pf Q, P) и (P', Q', R'), первый из которых ассоциирован С S1 а второй — с 5', будут противоположно ориентированы.
2§. Пусть дан ориентированный треугольник (Г); доказать, что существует точка 5 такая, что ориентированный треугольник (Р, Q, R)9 с ней ассоциированный, будет подобен треугольнику (T) и одинаково с ним ориентирован. Построить, в частности, S1 если (P9 Q9 R) — равносторонний треугольник.
3°. Определить все точки S такие, что ассоциированные с ней треугольники (P1 Q1 R) будут подобны и одинаково или противоположно ориентированы с ориентированным треугольником, полученным из данного треугольника ABC всевозможными (шестью) порядками его вершин. Если треугольник ABC не равнобедренный, то, таким образом, будут получены одиннадцать точек, среди которых будут O1 I1 J1 К. Показать, что пять из указанных одиннадцати точек будут лежать на одной прямой, а шесть остальных — на окружности, проводящей через точку О. Каковы будут эти точки, если ABC — равносторонний треугольник? В общем случае пусть .S1 и S2 — точки, с которыми ассоциированы ориентированные треугольники (Р? Q9 R)t подобные и одинаково ориентированные с ориентированными треугольниками (B1 C1 А) и (C1 A1 В). Доказать, что. например, S1 можно охарактеризовать равенством углов (BC1 ВЩ), (CA1 CS1), (AB9 AS1) и что S1 и S2 — фокусы линий второго порядка, касающихся BC9 CA и AB. Обозначая через а, В, ^9 со алгебраические значения углов (AB1 AC)1 (ВС, BA), (СА, CB) и (BC1 BS1), доказать, что
ctg <р = ctg a -J- ctg P +ctg т
(можно сначала установить соотношение
4octg8 = y +-Z2 — х*
для треугольника с площадью с и сторонами X9 у9 Z9 где 0 —угол, противолежащий стороне х).
IV. I9. Точка S фиксирована [расположена на (О) или нет — безразлично].
Какова будет огибающая прямых PQ1 соответствующая ^QW фигурам (P1 Q, R), ассоциированным с S? 2°. Точка S фиксирована на окружности (О) и отлична от точек А, В, С. На каждой прямой PQR, ассоциированной с S, рассматривается точка M такая, что
PM = XPQ9
где X — данное число. Каково геометрическое место (L) точек М? Какова будет огибающая линий (L)1 если X меняется? З9. Точка S фиксирована и не лежит на окружности (О). Найти геометрические места центров описанных окружностей, ортоцентров, центров тяжестей треугольников (P1 Q, R)1 ассоциированных с S. Можно ли
