Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
12. Вершина треугольной пирамиды проектируется в центр нижнего основания. Через середину высоты проведены четыре плоскости, параллельные основанию и боковым граням пирамиды. Площади сечения равны соответственно S1, s2, S3 и S4. Найти полную поверхность пирамиды.
13. В основании ABC треугольной пирамиды SABC взята точка M и через нее проведены прямые, параллельные ребрам SA9 SB и SC9 до встречи с гранями SBC9 SCA и SAB соответственно в точках P9 Q и /?. Полагая
SA = a9 SB = b9 SC=C9
MP=X9 MQ-у 9 MR = Z9
найти сумму
а т- ь-г с •
14. Найти объем правильной треугольной усеченной пирамиды, если известны длина I средней линии боковой грани и расстояние d между центрами вписанного и описанного шаров.
15. Ребро правильного тетраэдра равно а. Найти стороны, периметр и площадь сечения, параллельного двум его скрещивающимся ребрам и отстоящего от центра тетраэдра на расстоянии Ь9 причем
16. Определить объем тетраэдра, если противоположные ребра его попарно равны а9 b и с.
17. Ребро SA пирамиды SABC перпендикулярно плоскости ее основания. Вычислить площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через A9 параллельной ВС и перпендикулярной грани SBC9 если
SA=I9 AB = ^9 AC = ^9 BC = ^.
18. Площадь боковой грани правильной треугольной пирамиды равна s. Найти площадь сечения, проведенного параллельно боковой грани через:
а) точку пересечения медиан основания;
б) через середину высоты основания;
в) через середину высоты пирамиды.
19. Площадь сечения правильной треугольной пирамиды, проходящего через вершину и перпендикулярного медиане основания, равна s. Найти площадь сечения, перпендикулярного медиане основания, делящего ее в отношении: а) 1 : 1; б) 1 : 2; в) 1 : 5.
20. Основанием пирамиды с равными боковыми ребрами служит прямоугольный
80
треугольник, катеты которого равны 5 и 12; высота пирамиды равна -yj.
Найти площадь сечения, параллельного гипотенузе основания и не встречающемуся с ней боковому ребру, если секущая плоскость делит катеты основания в отношении 4:1, считая от вершины прямого угла.
21. Вершины двух равных и правильных треугольных пирамид, объем каждой из которых равен V9 находятся в различных концах их общей высоты, причем боковые ребра одной пересекают апофемы другой. Найти объем тела, ограниченного боковыми гранями этих пирамид.
§ 3. МНОГОУГОЛЬНЫЕ ПИРАМИДЫ
277
22. Прямоугольный треугольник АБС (А = 90°) проектируется на плоскость P в равнобедренный треугольник abc. Дано ab = ac = lt /_Ъас= 120°. Расстояния от точек Б и С до плоскости P равны 2 см, расстояние от точки А до плоскости P больше, чем 2 см.
1°. Вычислить расстояние от точки А до плоскости Р. Во всем последующем /=3|/^2 см.
2°. Вращением вокруг прямой, по которой пересекаются плоскость АБС и плоскость Р, плоскость треугольника ABC совмещается с плоскостью Р. Начертить на плоскости P треугольник abc и тот треугольник U1O1C1, с которым при указанном вращении совмещается треугольник АБС.
3°. Вычислить объем пирамид аБЬсС и аАБс.
4°. Вычислить расстояние от точки а до плоскости АБС.
23. 1°. В треугольнике АБС /Л = 60°. Вычислить сторону а и площадь s
в функции b и с. 2°. В тетраэдре SABC
IASB= IBSC= /С5Л = 60°;
пусть
SA = a, SB = b, SC = C
Показать, что необходимое и достаточное условие того, что ВС = a YЮ выражается некоторым соотношением между а, Ь, с [назовем это соотношение соотношением (1)]. Показать, что необходимое и достаточное условие того, что треугольник ABC прямоугольный с прямым углом Л, также выражается некоторым соотношением между a, b и с [это соотношение между a, b и с назовем соотношением (2)]. 3°. Пусть задана длина а ребра SA; доказать, что можно определить в функции а выражения P = be и S = b-\-c при условии, что соотношения (1) и (2) одновременно выполнены. Вычислить в функции а значения b и с при условии, что
/ ВАС = 90°, BC = а У И).
4°. Вычислить в функции а полную поверхность тетраэдра в последнем предположении.
§ 3. Многоугольные пирамиды
1. Основание пирамиды — прямоугольник, площадь которого 1 м2; две боковые грани перпендикулярны площади основания, а две другие наклонены к нему под углом 30° и 60°. Найти объем этой пирамиды.
2. Из середины высоты правильной четырехугольной пирамиды опущены на боковое ребро перпендикуляр, равный h, и перпендикуляр на боковую грань, равный Ь. Найти объем пирамиды.
3. Основанием усеченной пирамиды служит прямоугольник, причем точки пересечения диагоналей оснований находятся на одном перпендикуляре к плоскости основания. Стороны одного прямоугольника 54 см и 30 см, а. периметр другого 112 см. Расстояние между их плоскостями равно 12 см. Определить боковую поверхность этой пирамиды.
4. Площадь сечения, проходящего через диагональ основания правильной четырехугольной пирамиды параллельно не встречающемуся с ней боковому ребру, равна s. Найти площадь сечения, проходящего через середины двух смежных сторон основания и середину высоты.
278
Стереометрия. Гл. XXII. ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ
