Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
б« В основании четырехугольной пирамиды лежит параллелограмм. Через одну из его сторон и среднюю линию противолежащей грани проведем плоскость. В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды?
6. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна а, боковое ребро образует с высотой угол 30°. Построить сечение, проходящее через вершину основания перпендикулярно противолежащему ребру, и найти его площадь.
7. Две четырехугольные пирамиды имеют общим основанием квадрат со стороной а и расположены по одну сторону от их общего основания. Высоты их равны А и проходят через середины противоположных сторон квадрата основания. Найти объем общей части этих двух пирамид.
8. Вычислить объем общей части двух пирамид с одинаковой высотой /г, если общим их основанием служит квадрат со стороной а, а высоты проходят через противоположные вершины квадрата основания.
9. Площадь сечения правильной четырехугольной пирамиды, перпендикулярного стороне основания в ее середине, равна s. Найти площадь сечения, перпендикулярного стороне основания и делящего его в отношении 1 : 5.
10. Площадь боковой грани правильной четырехугольной пирамиды равна 5.
Найти площадь сечения, параллельного боковой грани и делящего площадь
основания в отношении 1) 1:1; 2) 1:3. И. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 2, высота
равна 4. Вычислить площадь сечения, проходящего через середины двух
смежных сторон основания и середину высоты.
12. Диагонали оснований правильной усеченной четырехугольной пирамиды равны 1 и 3, диагональ пирамиды равна 7, Найти площадь двух параллельных сечений, одно из которых проходит через диагональ пирамиды параллельно диагонали ее основания, а другое —через середину оси.
13. Основанием пирамиды SABCD служит параллелограмм со сторонами AB = 15, Л13 и диагональю JSD= 14. Ребро SA перпендикулярно плоскости основания и равно 48. Через А проведена плоскость, параллельная BD и делящая SC в отношении SM: MC= 3:2. Найти площадь сечения.
14. Площади верхнего и нижнего оснований усеченной пирамиды равны S1 и s2. Определить площадь среднего сечения.
15. Правильная пятиугольная пирамида SABCDE пересечена плоскостью, проходящей через вершины А и С основания и середины ребер DS и ES. Найти площадь сечения, если ребро основания пирамиды равно q, а боковое ребро равно Ь.
16. Площадь сечения, проходящего через высоту правильной шестиугольной пирамиды и большую диагональ ее основания, равна s. Найти площадь сечения, перпендикулярного апофеме основания в ее середине.
17. Площадь сечения, проведенного через меньшую диагональ основания правильной шестиугольной пирамиды параллельно ее высоте, равна s. Найти площадь сечения, перпендикулярного стороне основания и делящего ее в отношении 1 : 3.
18. Стороны оснований правильной шестиугольной усеченной пирамиды равны а и За; расстояние между двумя параллельными ребрами, лежащими в плоскостях различных оснований и различных боковых граней, равно b. В пирамиде проведены два параллельных сечения: одно проходит через упомянутые ребра, другое — через середину оси. Найти площади сечений.
19. Площадь боковой грани правильной шестиугольной пирамиды равна s. Найти площадь сечения, параллельного боковой грани и проходящего через: а) центр основания; б) середину высоты.
20. Меньшие диагонали оснований правильной шестиугольной усеченной пирамиды A1A2A9A^A6B1B2B3B4B5B6 равны d и 2d\ большая диагональ пирамиды равна D. Найти площадь сечения, проведенного через АХВА параллельно A2A6.
§ 4, приамы
279
21. Боковое ребро правильной шестиугольной пирамиды SA1A2A3A4A5A6 равно /, меньшая диагональ основания равна d. Найти площадь сечения, параллельного SA1 и A2A6, если отношение A1M : MA4, в котором секущая плоскость делит A1A4, равно: а) 3: 1. б) 1 : 1, в) 1 :3. г) 1 : 7.
§ 4. Призмы
1. Основание наклонной призмы — треугольник, стороны которого 35, 21, 28, а расстояние между двумя ее основаниями 59. Определить объем.
2. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 через сторону основания AB и противолежащую ей вершину C1 проведена плоскость. Вторая плоскость проведена через сторону A1B1 и вершину С. Найти отношение объемов частей призмы, на которые ее разбивают проведенные плоскости.
3. Основанием наклонной призмы служит правильный треугольник со стороной а, длина бокового ребра равна Ь. Одно из боковых ребер образует с прилежащими сторонами основания угол в 45°. Определить боковую поверхность этой призмы.
4. Стороны основания прямой треугольной призмы равны соответственно 6, 8 и 4 ^6. Через вершину большего угла основания проведено сечение призмы, имеющее форму равностороннего треугольника. Найти периметр сечения.
б. Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 1; высота призмы равна радиусу круга, вписанного в основание. Найти площадь сечения, проходящего через середины ребер AA1, A1B1 и АС.
6. Каждое из оснований правильной призмы служит основанием пирамиды, вершина которой находится в центре тяжести другого основания призмы. Как относится объем тела, ограниченного боковыми гранями пирамид, к объему призмы?
