Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
образующая с данной плоскостью угол в 30°. Найти угол между AB и прямой, по которой пересекаются данная плоскость с плоскостью, проведенной через AB.
4. В прямоугольном треугольнике дана гипотенуза а и острый угол, равный 30°. Определить расстояние от вершины прямого угла до плоскости, которая проходит через гипотенузу и наклонена к плоскости данного треугольника под углом 45°.
б. Параллелограмм и плоскость тс расположены так, что одна из меньших сторон параллелограмма находится в плоскости тс, а противоположная ей удалена от плоскости тс на расстояние, равное расстоянию между большими сторонами параллелограмма. Определить угол между плоскостью тс и плоскостью параллелограмма, если длины сторон параллелограмма относятся как 1:2.
6. Через две точки, находящиеся в данной плоскости на расстоянии, равном а9 проведены наклонные под углом 45° к плоскости. Определить расстояние между ними, если расстояние между их проекциями на данную плоскость равно Ъ.
7. Даны плоскость тс и прямая AB9 удаленная от нее на расстояние а. Через точку А проводятся прямые, перпендикулярные AB9 образующие с данной плоскостью углы 45° и 30° и пересекающие эту плоскость в точках PhQ. Найти длину отрезка PQ.
8. Отрезок AB параллелен данной плоскости тс. Из его концов восставлены к нему перпендикуляры под углами 45° и 30° к данной плоскости. Определить расстояние от данного отрезка до данной плоскости., если его длина равна а9 а расстояние между точками пересечения плоскости с проведенными перпендикулярами равно о.
§ 2, ТРЕУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА
275
9, Hi ребре двугранного угла 120° врят отр^шок с и из ©го концов восставлены к н§му в рааличных гранях перпендикуляры а ц д. Определить длину прямой, соединяющей концу этих перпендикуляров.
10. В трехгранном угле все плоски© углы равны 46°, Найти расстояние от точки до_ вершины данного угла, если она находится на расстояниях, равных ]/б-~от каждой грани.
11. В трехгранном угле SABC углы ASB и ASC равны между собой; угол BSC равен 90р; ребро SA образует с гранью BSC угол 60°, На ребрах SB и SC отложены равные отрезки SAf и SN и через MnN проведена плоскость, дающая а сечении с гранями правильный треугольник. Определить угол между проведенной плоскостью и гранью MNS,
12. Основанием пирамиды служит квадрат. Двугранные углы при основании относятся, как І : 2 і 4 : 2. Определить эти углы.
§ 2. Треугольная пирамида
1. Трехгранный угол, все плоские углы которого прямые, пересечен плоскостью, удаленной от вершины на а и отсекающей равные отрезки на ребрах. Найти объем полученной пирамиды.
2. Плоскость отсекает на ребрах трехгранного угла, все двугранные углы которого прямые, отрезки, составляющие арифметическую прогрессию с разностью 4 см» Найти размеры отрезков, если объем образовавшейся пирамиды равен 140 см3.
3. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а, а боковое ребро равно Ь, Плоскость, параллельная боковому ребру и скрещивающейся с ним стороне, рассекает данную пирамиду по квадрату. Найти сторону этого квадрата.
4. В треугольной пирамиде одна из сторон основания равна 16 см; противоположное ей боковое ребро равно 18 см; каждое из остальных четырех ребер равно 17 см, Определить объем этой пирамиды,
б. Через одно ребро основания правильной треугольной пирамиды со стороной основания q проведена плоскость перпендикулярно противоположному боковому ребру. Определить полную поверхность пирамиды, если указанная плоскость делит боковое ребро в отношении ті п.
6. Боковая поверхность правильной треугольной пирамиды в k раз больше площади основания, Найти объем пирамиды, если площадь круга, вписанного в основание, численно равна радиусу этого круга.
7. Секущая плоскость делит боковые ребра треугольной пирамиды в отношениях (считая от вершины)
щ щ щ
В каком отношении эта плоскость разделит объем пирамиды?
8. Дан тетраэдр QExE4E9, причем OE1« QE2 ^ QE9. На продолжении ребер QEx, QEg, QE9 за точки E19 ?а, E3 віятьі точки O11 O31 O9 на расстояниях, соответственно равных х, у, z от точки О. Построен параллелепипед, для которого отрезки OQ11 QQ2 и OQ9 являются ребрами, а из точки Q проведена диагональ, встречающая плоскость треугольника E1E2E3 в точке М. Найти отношения: пл. ^ME2E3: пл. ДAMf8E1: пл. Д AMT1E2-
9. На боковых ребрах тетраэдра SABC отложены соответственно отрезки AA1 ж Qi9 BB1 3, Cd = 4. Плоскость, проходящая через эти точки, делит объем тетраэдра в отношении 1 •. 8. Определить боковые ребра тетраэдра, если известно, что они равны между собой.
10. В правильной треугольной пирамиде, сторона основания которой равна а, а боковое ребро равно 2я, через середину бокового ребра перпендикулярно к нему проведена плоскость. Определить площадь образующегося сечения.
276
Стереометрия. Гл. XXII. ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ
П. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Вершина пирамиды удалена от плоскости ее основания на расстояние, равное 24, и проектируется на эту плоскость в точку, лежащую внутри основания. Найти ребро куба, четыре вершины которого лежат в плоскости основания данной пирамиды, а ребра, соединяющие эти вершины, параллельны соответствующим катетам треугольника, лежащего в основании пирамиды. Четыре другие вершины куба лежат на боковых гранях данной пирамиды.
