Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Моденов П.С. -> "Сборник задач по специальному курсу элементарной математики" -> 117

Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.

Моденов П.С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики — М.: Высшая школа, 1960. — 766 c.
Скачать (прямая ссылка): szpskemmodenov1960.djvu
Предыдущая << 1 .. 111 112 113 114 115 116 < 117 > 118 119 120 121 122 123 .. 381 >> Следующая


Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 271

выбрать точку S так, чтобы для одного из ассоциированных с ней треугольников (P9 Q, R) она была бы:

а) центром окружности, описанной вокруг треугольника PQR?

б) его ортоцентром?

в) его центром тяжести?

V. Точка S фиксирована, но не расположена ни на одной из прямых BC9 CA и AB.

1°. Рассмотрим инверсию с полюсом S. Изучить переменную фигуру, образованную образами точек P9 Q, R в указанной инверсии для фигур (P9 Q9 R)9 ассоциированных с S.

2°. Рассмотрим полярное преобразование относительно окружности с центром 5. Изучить переменную фигуру, образованную полярами точек P9 Q9 R для фигур (P5 Q5 P)5 ассоциированных с S.

Глава XXI

РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ

1. Найти треугольник, стороны и площадь которого выражаются тремя последовательными числами.

2. Заключить квадрат со стороной а в равносторонний треугольник возможно меньших размеров.

3. Построить внутри квадрата со стороной а равносторонний треугольник возможно больших размеров.

4. Поместить внутри квадрата со стороной а правильный шестиугольник возможно больших размеров. Найти сторону шестиугольника.

б. Поместить внутри правильного шестиугольника со стороной а квадрат возможно больших размеров. Найти сторону этого квадрата.

6. Пользуясь циркулем и линейкой, соединить прямой линией точки А и Bt если длина линейки меньше расстояния AB.

7. Квадрат со стороной а разрезать на 4 части так, чтобы из них можно было составить тетраэдр.

8. Имеется шахматная доска с обычной раскраской (границы считаются окрашенными в черный цвет). Начертить на ней окружность наибольшего радиуса, целиком лежащую на черном, и доказать, что большей начертить нельзя.

9. Из прямоугольника ABCD вырезается квадрат APQRA. Найти при помощи линейки центр тяжести оставшейся части.

10. Доказать, что любые четыре касательные, проведенные к окружности через две сопряженные точки, делят любую пятую касательную гармонически.

11. На плоскости дана квадратная сетка, причем сторона наименьшего квадрата равна 1 см. Дана плоская ограниченная фигура, площадь которой меньше 1 см2. Доказать, что какова бы ни была форма этой фигуры, ее можно наложить на сетку так, что ни одна из вершин квадратов сетки не попадет на фигуру.

12. Исследовать покрытия плоскости правильными многоугольниками, удовлетворяющие следующим условиям:

а) плоскость покрыта правильными многоугольниками сплошь — без просветов и двойных покрытий;

б) вокруг всех вершин правильные многоугольники расположены одним и тем же способом, т. е. вокруг всех вершин в одном и том же порядке следуют правильные многоугольники одних и тех же наименований; например, если вокруг одной вершины многоугольники расположены в последовательности: треугольник — квадрат— шестиугольник — квадрат, то и вокруг всякой другой вершины того же покрытия многоугольники расположены в той же последовательности: треугольник — квадрат — шестиугольник — квадрат.

13. Даны четыре прямые: at bt с, dt попарно пересекающиеся в шести точках. Доказать, что:

а) эти четыре прямые, взятые по три, образуют четыре треугольника (1), у которых все четыре описанные окружности проходят через одну и ту же точку Р;

Планиметрия. Гл. XXI. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ

273

б) центры этих четырех окружностей и точка P лежат на одной окружности;

в) основания перпендикуляров, опущенных из точки P на прямые а, Ь% с, d, лежат на одной прямой г; это свойство принадлежит исключительно точке Р\

г) ортоцентры всех четырех треугольников (1) лежат на одной прямой г';

д) прямые г и ґ параллельны;

е) прямая г проходит через середину перпендикуляра, опущенного из точки P на прямую ґ\

ж) середины диагоналей полного четырехугольника, образованного прямыми а, Ь, су d, лежат на одной прямой г"\

з) прямая г" перпендикулярна прямым г и г'\

и) для каждого из четырех треугольников (1) существует один вписанный и три вневписанные круга, что дает всего шестнадцать кругов; центры этих шестнадцати кругов лежат по четыре на восьми новых кругах;

к) эти восемь новых кругов разделяются на две группы так, что каждый из четырех кругов одной группы пересекает ортогонально все круги другой группы; центры кругов обеих групп лежат на двух взаимно-перпендикулярных прямых;

л) эти последние прямые пересекаются в точке Р.

РАЗДЕЛ II СТЕРЕОМЕТРИЯ

Глава XXII ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ

§ 1. Прямые и плоскости в пространстве

1. Из внешней точки проведены к плоскости две накдрнные; проекции наэту плоскость равны а и &(а> Ь), а разность углов наклона к плоскости равна 45°. Определить расстояние от общей точки наклонных до плоскости.

2. Из точки A1 не лежащей на плоскости, проведены к ней две взаимно перпендикулярные наклонные: AB и AC9 образующие с плоскостью углы 15° и 75°. Найти углы В и С треугольника ABC.

3. Точка А лежит на данной плоскости. Точка В лежит вне данной плоскости.

Пусть H— основание перпендикуляра, опущенного из точки В на данную

4

плоскость. Дано AB = BH • ^==.. Через прямую AB проведена плоскость,
Предыдущая << 1 .. 111 112 113 114 115 116 < 117 > 118 119 120 121 122 123 .. 381 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed