Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
7. Перпендикулярные сечения двух призматичных поверхностей суть равные правильные треугольники со стороной а. Найти объем тела, ограниченного этими призматическими поверхностями, если
а) оси поверхностей пересекаются под прямым углом, а плоскости двух граней совпадают;
б) одно из ребер каждой поверхности пересекает два ребра другой поверхности под прямым углом.
8. Определить полную поверхность правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ равна И' см, а диагональ боковой грани равна 10 см.
9. Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна 15 см, высота призмы равна 20 см. Найти кратчайшее расстояние от стороны основания до непересекающей ее диагонали призмы.
10. В правильной четырехугольной призме через середины двух последовательных сторон основания проведена плоскость, пересекающая три боковых ребра и наклоненная к плоскости основания под углом 45°. Сторона основания равна а. Определить площадь полученного сечения.
11. Найти объем правильной четырехугольной призмы со стороной основания а, если сумма углов, образованных диагональю призмы со стороной и с диагональю основания (выходящими из той же вершины), равна 135°.
12. Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна 2, а высота призмы равна 4. Найти площадь сечения, проходящего через середины двух смежных сторон основания и середину оси.
13. Основанием прямой призмы служит ромб с диагоналями 6 и 15. Высота призмы равна 8. Найти площади сечений, проходящих через диагонали призмы параллельно диагоналям ее оснований.
14. В правильной четырехугольной призме проведены два параллельных сечения: одно проходит через диагональ основания призмы параллельно ее диагонали, другое делит ось призмы в отношении 1 : 3. Зная, что площадь первого сечения равна s, найти площадь второго.
280
Стереометрия. Гл. XXII. ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ
15. В правильной четырехугольной призме проведены два параллельных сечения: одно проходит через середины двух смежных сторон основания и середину оси, другое делит ось в отношении 1 : 3. Зная, что площадь первого сечения равна S9 найти площадь второго сечения.
16. Объем правильного тетраэдра равен v. Найти объем части тетраэдра, заключенной внутри призматичной поверхности, сечение которой, перпендикулярное к ее ребрам, совпадает с сечением тетраэдра плоскостью, параллельной двум его скрещивающимся ребрам.
17. Оси двух призматических поверхностей, перпендикулярные сечения которых—равные квадраты со стороной а9 взаимно перпендикулярны, а две диагональные плоскости их совпадают. Найти объем тела, ограниченного данными призматическими поверхностями.
18. Ребра AB и CD тетраэдра ABCD перпендикулярны друг другу и к прямой MN9 соединяющей их середины; MiV служит осью, вписанной в тетраэдр правильной четырехугольной призмы. Найти ее объем, если
1) AB = CD = 8, MN = 4, высота призмы относится к стороне основания как 3:1;
2) AB = 2, CD = MN = 4, высота призмы равна стороне основания.
И). В правильной шестиугольной призме проведены два параллельных сечения: одно проходит через сторону основания призмы и ее большую диагональ, другое делит ось призмы в отношении 1 : 3. Зная, что площадь первого сечения равна S9 найти площадь второго.
20. В правильной шестиугольной призме проведены два параллельных сечения: одно проходит через середины двух несмежных и непараллельных сторон основания и середину оси призмы, другое делит ось в отношении 1 :3. Зная, что площадь первого сечения равна S9 найти площадь второго сечения.
21. Каждое ребро правильной шестиугольной призмы равно 1. Найти площадь сечения, проходящего через сторону основания и большую диагональ призмы.
22. Большая диагональ правильной шестиугольной призмы
A1A2A3A4A5A6B1B2B3B^B9
равна D9 меньшая диагональ ее основания равна d. Найти площадь сечения, параллельного A2A6 и A1B19 если отношение A1M : MA^9 в котором секущая плоскость делит A1A49 равно: 1) 3: 1, 2) 1 : 1, 3) 1 : 3, 4) 1 : 7, 5) 0.
23. Объем правильной пирамиды равен v. В шестиугольнике, служащем ее основанием, проведены диагонали, не проходящие через центр. Два полученных треугольника служат перпендикулярными сечениями призматических поверхностей. Найти объем части пирамиды, заключенной внутри этих призматических поверхностей.
24. Оси двух призматических поверхностей, перпендикулярные сечения которых суть равные правильные шестиугольники со стороной а9 пересекаются под прямым углом. Найти объем тела, ограниченного призматическими поверхностями, если у них совпадают:
а) две диагональные плоскости, проходящие через оси;
б) две диагональные плоскости, не проходящие через оси.
26. В правильной двенадцатиугольной призме через сторону нижнего основания и противоположную сторону верхнего основания проведено сечение, образующее с плоскостью основания угол в 45°. Определить площадь сечения, если сторона основания а = 5 см.
§ б. Куб
1. В правильной четырехугольной пирамиде, высота которой 3,6, а сторона , основания 4,2, помещен куб, четыре вершины которого находятся на основании пирамиды, а остальные четыре — на боковых ребрах. Определить сторону куба.
