Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
1°. Построить геометрически две окружности (О), которые проходят через заданную точку А прямой (D). Эти две окружности вторично пересекают (D) в точках В и Bf\ пусть их линия центров пересекает (D) в точке Е. Доказать, что
ЁА2=ЁВ - ЕВ'.
2°. Пусть H— основание перпендикуляра, опущенного из точки P на (D).
Во что переходит фигура, образованная прямой (D) и совокупностью
двух окружностей (О) в инверсии (Р, PH2)? 3°. Какова огибающая (L) окружностей (О)? Доказать, что огибающие (L)1
соответствующие различным значениям б, принадлежат одному и
тому же пучку окружностей; определить предельные точки этого
пучка.
4°. Найти геометрическое место (Г) центров О для одного и того же 6. Каково расположение (Г) относительно прямой (D)?
5°. Найти геометрическое место (G) полюса I прямой (D) относительно окружностей (О) для одного и того же б; исследовать. Доказать, что положение центра этой кривой (G) не зависит от значения 6.
II. Рассмотрим теперь фиксированную окружность ((d) радиуса р и фиксированную точку Р, расположенную на расстоянии 2d от центра окружности (ш). Пусть (О)—окружность, проходящая через P и пересекающая (ш) под данным углом б.
1°. Что является огибающей (E) окружностей (О) для данного значения 6? Доказать, что огибающие, соответствующие различным значениям 6, принадлежат одному и тому же пучку окружностей; определить характеристические точки этого пучка.
2°. Найти геометрическое место (H) центров окружностей (О) для одного и того же значения б. 87**. Даны фиксированная прямая (А) и фиксированная точка A9 не лежащая на этой прямой. Переменные прямые (D) и (D') проходят через точку A9
пересекают (А) в точках В к C9 причем (D9 D') = ~.
1°. Найти геометрическое место центра О окружности (Г), описанной вокруг переменного треугольника ABC9 и огибающую окружностей (Г). Найти геометрическое место центров со окружности девяти точек этого треугольника. Найти геометрическое место оснований В' и С высот, выходящих из В и C9 а также огибающую прямых В'С.
.2°. Доказать, что окружности (M) и (M') с центрами -М и M'9 проходящие через А и касающиеся прямой (А) соответственно в точках В и С, ортогональны. Найти геометрическое место их центров и вторых точек P их пересечения (можно использовать инверсию с центром А). Найти огибающую линии центров MM'. Доказать, что окружность (BCP) проходит через фиксированную точку, когда (D) и (D') меняются.
262
Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
3°. Дана парабола (P) с фокусом F. Через фокус F проводятся два взаимно-перпендикулярных луча, которые пересекают (P) в точках M и M'. Найти геометрическое место проекций точки F на прямую MM' а также найти огибающую прямых MMf.
4°. Рассматривая какую-нибудь линию второго порядка и полагая
l_ MFMf = а Ф у, обобщить предыдущие положения.
88**. Даны прямая (D) и точка F1 не расположенная на этой прямой. Пусть ср — точка, симметричная точке F относительно (D)1 H—ортогональная проекция F на (D) и Л— какая-нибудь точка прямой (D), отличная от Н. Предлагается изучить линии (С) второго порядка с фокусом F, касающиеся в точке А прямой (D). Положим FH =d, FA = г.
1°. а) Доказать, что среди линий (С) существует парабола и только одна; построить ее директрису и ось. б) Доказать, что вторые фокусы линий (С) в случае, если (С)— центральные линии, располагаются на прямой (L)1 проходящей через А. Пусть на прямой (L) задана точка; всегда ли она может служить фокусом некоторой линии (С)? Различить на прямой (L) точки, являющиеся фокусами эллипсов (С) и фокусами гипербол (С). 2°. а) Доказать, что директрисы (А), соответствующие фокусу F линий (C)1 проходят через фиксированную точку /; построить эту точку, б) Построить директрисы (А), затем вторые фокусы F' линий (С) с данным эксцентриситетом, не равным 1. Исследовать. Пусть существуют две различные линии: (C1) и (C2); доказать, что их вторые фокусы F' и F'2 гармонически сопряжены по отношению к двум фиксированным точкам, которые требуется построить. 3°. Пусть (F^ и (T2) — направляющие окружности с центрами F^ и F'2 линий (C1) и (C2) с данным эксцентриситетом е. Уточнить их положение и показать, что их центр гомотетии не зависит от е. 4°. Ориентируем прямую (L) от Л к ср; точку А примем за начало координат и обозначим через х абсциссу точки F'. Выразить в функции Л, г и X квадрат фокальной оси и эксцентриситет линии (С), для которой F1 — второй фокус. Изучить функцию у = е2 — 1, когда X изменяется от —сю до 4~°°- Построить график этой функции, полагая г —- 2, d=l (за единицу масштаба осей Ox и Oy принять 3 см). Написать уравнение второй степени, которому должен удовлетворять X1 если е дано. Доказать, что если это уравнение имеет действительные корни, их произведение не зависит от ?, и получить отсюда снова результат окончания 2°, б). 89**. На плоскости фиксированы две точки: FuI1 расстояние между которыми равно d. Рассмотрим множество эллипсов (E) с эксцентриситетом е, для которых F — фокус, а директрисой, соответствующей этому фокусу, является переменная прямая (D)1 проходящая через точку /.
