Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
АО __ ВО _ СО OP ~ OQ ~ OR '
необходимо (и достаточно), чтобы AP1 BQ и CR были медианами треугольника ABC (доказать).
151. Доказать, что центр тяжести системы из трех однородных отрезков, образующих треугольник ABC1 лежит в точке пересечения биссектрис внутренних углов треугольника PQR1 где Р, Q1 R — соответственно середины сторон BC1 CA и AB.
152. Доказать, что во всяком треугольнике биссектриса проходит между медианой и высотой, проведенными из той же цершины (исключается случай равнобедренного треугольника).
153. Доказать, что если стороны треугольника а<&<с образуют арифметическую прогрессию, то
ас = 6Rr.
154. Доказать вычислением, что если биссектрисы двух внутренних углов треугольника равны между собой, то треугольник — равнобедренный.
155. Доказать, что для всякого треугольника выполнено соотношение
IL-JL P - R'
где р — полупериметр данного треугольника, рх — полупериметр треугольника, вершинами которого являются основания высот данного треугольника.
198 Планиметрия. Гл. XVII. ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
156. На отрезке AC взята точка В и на отрезках AB и ВС построены по одну сторону от прямой AC равносторонние треугольники ABD и BCD1. Пусть M и N— середины отрезков DC и D1A. Доказать, что треугольник MNB равносторонний.
157. Около треугольника ABC со сторонами а9 Ь9 с описана окружность. Обозначим через т, п, р соответственно расстояния от какой-нибудь точки окружности до сторон а, Ь, с треугольника. Доказать, что
а _ b , с
~т ~п ' ~р *
158. Стороны треугольника равны:
а = (2 4-/зГ + (2-УзГ-1.
Ь = {2 +/3)-+(2-/3)",
с = (2+/3)- + (2-УЗ)".
Доказать, что а9 Ь, с — целые числа (п — целое положительное число). Вычислить площадь этого треугольника и доказать, что она выражается целым числом.
159. Треугольник ABC движется на плоскости таким образом, что его стороны AB и ВС все время касаются двух окружностей. Доказать, что сторона AC треугольника тоже касается некоторой окружности.
160. Доказать, что для того, чтобы треугольник со сторонами а9 Ь9 с был прямоугольным, необходимо и достаточно, чтобы имело место соотношение
Ь ~ I а V Ь + С'
где I0 и 1а — длины биссектрис углов А и В.
161. Доказать, что если точки A19 B1 и C1 лежат соответственно на сторонах BC9 CA и AB треугольника ABC9 то необходимым и достаточным условием пересечения в одной точке трех перпендикуляров к сторонам треугольника, восставленных в точках Alf B1 и C1, является равенство
ACl + BAl + CBl = B1A2 -f- C1B2 4- A1C2.
162. Доказать, что если два круга радиусов R и г расположены так, что расстояние между их центрами равно Y^R2 — 2rR9 то можно построить бесконечное множество треугольников, вписанных в один круг и касающихся другого.
163. Доказать, что если стороны треугольника составляют арифметическую прогрессию, то биссектриса внутреннего угла, противолежащего средней стороне, перпендикулярна прямой, соединяющей центры вписанного и описанного кругов.
164. Доказать, что если в треугольнике линия центров вписанной и описанной окружностей перпендикулярна одной из биссектрис внутреннего угла треугольника, то стороны треугольника составляют арифметическую прогрессию.
165. Доказать, что если стороны треугольника составляют арифметическую
прогрессию, то радиус вписанного круга равен ^ высоты, опущенной
на среднюю сторону.
166. Доказать, что если стороны треугольника составляют арифметическую прогрессию, то прямая, соединяющая центр тяжести треугольника с центром вписанного круга, параллельна средней стороне.
167. Доказать, что если стороны треугольника составляют арифметическую прогрессию, то rb = hb, где b — средняя по величине сторона треугольника, hb — высота на нее и гь — радиус вневписанного круга, касающегося этой стороны.
§ 1. ТРЕУГОЛЬНИК
199
168. В треугольнике ABC возьмем на основании ВС или на его продолжении произвольным образом точку D и опишем вокруг треугольников ABD и ACD окружности. Доказать, что отношение радиусов этих окружностей есть величина постоянная. Найти такое положение точки D, для которого эти радиусы будут иметь наименьшую величину.
169. Доказать, что проекции вершины одного из углов треугольника на четыре биссектрисы (внутренние и внешние) двух других его углов лежат на одной прямой.
170. Доказать, что прямые, симметричные относительно сторон треугольника с какой-либо прямой, проходящей через его ортоцентр, пересекаются в одной точке.
171. Доказать, что перпендикуляры к биссектрисам треугольника, в их серединах пересекаются с противоположными сторонами в точках, лежащих на одной прямой.
172. Доказать, что биссектрисы равных углов подобных треугольников пропорциональны сходственным сторонам.
173. Доказать, что медианы, проведенные к сходственным сторонам подобных треугольников, пропорциональны сходственным сторонам.
174. В равнобедренном треугольнике ABC(AB-BC) проведена высота AD. Доказать, что
DC-ВС = -AC
176. Доказать, что если две стороны и высота, проведенная к третьей стороне одного треугольника, пропорциональны двум сторонам и высоте, проведенной к третьей стороне другого треугольника, то такие треугольники подобны.
