Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
§ 3. Окружность
1. Доказать, что расстояние любой точки окружности от какой-либо ее хорды есть среднее пропорциональное между расстояниями этой точки от касательных к кругу в концах взятой хорды.
2. Доказать, что произведение расстояний какой-либо точки окружности, описанной вокруг треугольника до его-сторон, равно произведению расстояний этой же точки до касательных, проведенных в вершинах этого треугольника.
3. Доказать, что четыре окружности, описанные вокруг четырехугольников, образованных четырьмя прямыми, имеют общую точку.
§ 3. окружность
209
4. Доказать, что расстояния от любой окружности, описанной вокруг правильного треугольника, до одной из его вершин равно сумме расстояний этой точки до двух других вершин.
б. Доказать, что точка G пересечения медиан треугольника, центр О' вписанной окружности и центр О" окружности, вписанной в треугольник, вершинами которого служат середины сторон данного, лежат на одной прямой.
6. MA и МБ — две касательные к окружности (А и В — точки касания), ВС— диаметр, AD—перпендикуляр к диаметру. Доказать, что прямая CM делит отрезок AD в точке E пополам.
7. Центр О данной окружности соединен с точкой С, произвольно взятой на данной хорде AB. Доказать, что
ОС2-{-AC- BC = RK
8. На продолжении общей хорды двух пересекающихся окружностей взята точка и из нее проведены касательные к обеим окружностям. Доказать, что части касательных от их общей точки до точек касания равны.
9. Из данной точки М% лежащей вне окружности с центром О, проведена секущая MAB. Доказать, что
МО2 — MB-MA = R2.
10. Доказать, что если R и г — соответственно радиусы описанной и вписанной в треугольник ABC окружности, то имеет место соотношение
OA-OB-OC = ARr2,
где О — центр вписанной в треугольник окружности.
11. Даны круг и касательная к нему AP в точке А. Проведены диаметр AB и хорды ВС и BD по одну сторону от диаметра AB. В точках CnD проведены касательные к кругу; пусть E — точка их пересечения. Хорды ВС и BD продолжены до пересечения с AP в точках M и Н. Доказать, что медиана стороны MH треугольника BMH проходит через точку Е.
12. На касательной к окружности даны точки В и С, симметрично расположенные относительно точки касания А. Через эти точки проведены две произвольные секущие, из которых одна встречает окружность в точках M и N, а другая — в точках PnQ. Доказать, что прямые MQ и PN пересекают касательную в' точках EhF, симметрично расположенных относительно точки А.
13. В круг вписаны трапеция, основанием которой служит диаметр, и равнобедренный треугольник, стороны которого параллельны сторонам трапеции. Доказать, что треугольник и трапеция равновелики.
14. Из точки К, делящей пополам дугу окружности, стягиваемую хордой AB, проведены хорды, пересекающие хорду AB. Доказать, что произведение каждой такой хорды на ее отрезок от точки К до точки пересечения с хордой AB равно квадрату хорды AK, стягивающей половину дуги АКВ.
16. Доказать, что если через одну из точек пересечения двух окружностей провести диаіметр в каждой окружности, то прямая, соединяющая другие концы этих диаметров, пройдет через вторую точку пересечения тех же окружностей.
16. Внутри окружности с центром O1 дана точка О. Через нее проведены диаметр 0O1 и перпендикулярная к нему хорда GKl Если теперь через точку О провести произвольные хорды AB и CD и соединить их концы, то хорды AC и BD отсекут на CK отрезки OF и OE, равные между собой.
17. В четырехугольник можно вписать окружность радиуса г и описать вокруг него окружность радиуса R. Доказать, что
(R2 — d2)2 = 2r2 (R2 + d2), где d — расстояние между центрами окружностей.
14 П. С. Моденов
210
Планиметрия. Гл. XVII. ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
18. На окружности, описанной вокруг треугольника ABC, выберем произвольную точку М. Обозначим через MA9 MB и MC расстояния от точки M до вершин A9 В и С, а через MD9 ME и MF — расстояния от точки M до сторон BC9 CA и AB. Доказать, что
MA - MD = MB • ME = MC • MF9
19. Доказать, что радиус окружности, описанной вокруг треугольника., в 2 раза больше радиуса окружности, проходящей через основания высот этого треугольника.
20. Доказать, что прямая, соединяющая середины диагоналей описанного четырехугольника, проходит через центр вписанного круга (Ньютон).
21. Доказать, что сумма квадратов расстояний от двух точек, расположенных на диаметре на одинаковом расстоянии от центра до любой точки окружности, есть величина постоянная.
22. Доказать, что геометрическое место точек, расстояния которых до данных
точек А и В находятся в данном отношении Ф 1, есть окружность с центром на прямой AB. Выразить через AB диаметр этой окружности. Исследовать также случай p = q.
23. Три окружности с центрами O1, O2 и O3 проходят через одну точку О. Другие точки пересечения окружностей (O1) и (O2); (O2) и (O3); (O3) и (O1) соответственно — A9 В и С. Из произвольной точки M окружности (O1) проведены секущие MAP и MCQ [P и Q — точки соответственно на (O2) и (O3)]. Доказать, что точки P9BnQ лежат на одной прямой.
