Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
12; Вычислить стороны равнобочной трапеции, зная, что периметр равен 2р, диагональ равна d и что в эту трапецию можно вписать окружность.
13. На сторонах параллелограмма AB9 BC1 CD и DA взяты соответственно точки D1, A19 B1 и C1 такие, что
AD1 _ BA1 _ CB1 _ DC1 __ т D1B ~ A1C ~ B1D ~ C1A ~ п '
Отрезки AA1, BB1, CC1, DD1, пересекаясь, образуют четырехугольник MNEF. Зная, что площадь параллелограмма ABCD равна Q9 определить площадь четырехугольника MNEF.
26
14. Площадь пятиугольника ABCDE равна 68^ см2- Если из вершины А
провести диагонали, то площади треугольников ABC, ACD и ADE составят геометрическую прогрессию. Если на стороне DE взять точку F так, чтобы 369
EF = ggg FD9 то площади треугольников ABC9 ACD и AEF будут составлять арифметическую прогрессию. Найти площадь каждого треугольника. 16. Выразить диагонали и площадь вписанного в круг четырехугольника через его стороны.
16. Найти отношение площади правильного пятиугольника к площади треугольника, образованного стороной пятиугольника и двумя его диагоналями, выходящими из концов этой стороны.
17. Даны: р — периметр правильного описанного ^-угольника, P — периметр правильного описанного 2я-угольника. Определить P1 — периметр правильного вписанного 2/г-угольника.
18. В выпуклом шестиугольнике ABCDEF все углы равны между собой. Дано: AB = CD = EF = а, ВС = DE = FA = Ь. Вычислить площадь этого шестиугольника.
19. Из точки, взятой на большей стороне прямоугольника, неравные стороны его видны под равными углами. Найти расстояние этой точки до одной из меньших сторон прямоугольника, если измерения последнего суть 65 и 63.
20. Точки PnQ делят стороны ВС и CA треугольника ABC в данных отношениях:
BP _ OQ _п PC ~а' QA ~ г*
Пусть О — точка пересечения прямых AP и BQ. Найти отношение площади четырехугольника OPCQ к площади данного треугольника.
§ 3. Окружность
1. Две окружности, радиусы которых равны г и R, пересекаются под прямым углом. Определить длину их общей касательной.
2. Две окружности радиусов R и г касаются внешним образом. Определить радиус окружности, касающейся этих окружностей и их общей внешней касательной.
3. Центр окружности S1 лежит на гипотенузе прямоугольного треугольника. Эта окружность касается большого катета ВС в точке, расстояние которой до вершины В острого угла равно р, и проходит через вершину А острого
§ 3. ОКРУЖНОСТЬ
187
угла треугольника, касаясь в ней внутренним образом второй окружности* центр которой лежит в точке пересечения D первой окружности с гипотенузой треугольника. Найти радиус первой окружности, если хорда второй окружности, проведенная через вершину В острого угла треугольника, перпендикулярна его гипотенузе и видна из точки А под углом 6O9.
4. Две окружности, отношение радиусов которых равно 2 : 3, касаются друг друга внутренним образом. Через центр меньшей окружности проверена прямая, перпендикулярная линии центров, и из точек пересечения этой прямой с большей окружностью проведены касательные к меньшей окружности. Найти углы между этими касательными.
б, В круге радиуса г проведена хорда, стягивающая дугу в 108°. Найти длину этой хорды.
6. К каждой из двух данных окружностей, касающихся друг друга внешним образом в точке А, проведены две параллельные касательные, проходящие через точки, диаметрально противоположные точке А. Отношение радиусов данных окружностей равно к. Найти отношение радиусов окружностей, каждая из которых касается внешним образом двух данных окружностей и одной из построенных касательных.
7. Круг радиуса -g- касается внутренним образом круга радиуса 2. Найти
радиус третьего круга, касательного к двум первым и к диаметру, соединяющему их центры.
8. Равнобедренный прямоугольный треугольник вписан в окружность радиуса /?. Найти радиус окружности, которая касается равных сторон этого треугольника и данной окружности.
9. Дана окружность с центром в точке О, диаметр AB которой равен 2R. На касательной к окружности в точке А отложен отрезок AM, длина которого больше радиуса R, и из точки M проведена к окружности вторая касательная, пересекающая AB в точке Р. Определить стороны треугольника AMP при условии, что его периметр равен 8/?.
10. Две окружности, радиусы которых равны а и Ь, пересекаются. Расстояние между их центрами равно с. Найти радиус окружности, касающейся данных окружностей и их общей касательной.
П. Даны длины а и b хорд круга радиуса R. Найти длину хорды, соответствующую сумме дуг, которые стягиваются данными хордами.
12. На отрезке и двух его неравных частях как на диаметрах построены полуокружности (расположенные по одну сторону от данного отрезка). Даны радиусы а и Ъ меньших полукругов. Определить радиус окружности, касающейся всех полукругов.
13. Центры четырех кругов расположены в вершинах квадрата со стороной а. Радиусы всех кругов также равны а. Вычислить площадь части плоскости, общей для всех кругов.
14. Два круга одного и того же радиуса R расположены так, что центр каждого из них лежит на окружности другого. Определить радиус; круга, вписанного в общую часть этих кругов и касающегося их линии центров.
