Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
222. Доказать, что для всякого треугольника ABC справедливо соотношение
(25)2 = HJi0AH - HB + hJiJBH - HC + hchaCH . НА,
где 5 — площадь треугольника ABC, ha, hb и hc — его высоты, а Я — точка пересечения высот.
223. Доказать, что прямые, соединяющие середины сторон треугольника с серединами соответствующих высот, пересекаются в одной точке.
224. В треугольнике ABC проведены прямые AA1, BB1 и CC1, пересекающиеся в одной точке O1 (точка A1 лежит на стороне ВС и т. д.) Кроме.того, проведены прямые BB2, AA2 и CC2, также пересекающиеся в одной точке O2. Проведем следующие прямые:
через точку пересечения прямых BB1 и CC2 — прямую AA12; то же CC1 и AA2 — прямую BB12;
» » AA2 и BB1 — прямую CC21;
» » BB2 и CC1 — прямую AA21;
» » CC2 и AA1 — прямую BB21;
т> » AA1 и BB2 — прямую CC12
(точки C12 и C21 лежат на AB, точки Л12 и A21 лежат на ВС, точки B12 и B21 лежат на АС). Доказать, что прямые AA12, BB12, CC12 проходят через одну точку. Доказать, что прямые AA21, BB21, CC21 также проходят через одну точку.
226. Доказать, что если высоты треугольника ABC пересекаются (при продолжении) с описанной окружностью в точках А', В', С, то точки пересечения прямых А'В', В'С и CA' со сторонами AB9 ВС и CA дежат на одной прямой (теорема Брокара).
204 Планиметрия. Гл. XVII. ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
226. Доказать, что если длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию, то центр тяжести треугольника и центр круга, вписанного в него, находятся на прямой, параллельной средней (по величине) стороне (теорема Лезана).
227. Доказать, что если соединить вершины треугольника ABC с произвольной точкой M описанной . окружности и обозначить через А', Bf, С' точки пересечения сторон BCt CA и AB с прямыми AM, BM и СМ, то ортоцентр треугольника А'В'С совпадает с центром круга, описанного вокруг треугольника ABC (теорема Брокара).
228. Доказать, что треугольник, образованный основаниями биссектрис данного треугольника, будет прямоугольным тогда и только тогда, когда один из углов данного треугольника равен 120°.
229. Доказать, что если H— ортоцентр треугольника ABC, то треугольники ABC, AHB, BHC и СНА имеют общую окружность (O9) Эйлера (Гамильтон).
230. Доказать, что во всякий треугольник можно вписать два таких треугольника, стороны которых параллельны биссектрисам углов данного треугольника. Доказать, что оба эти треугольника имеют общую окружность Эйлера.
231. Доказать, что основания перпендикуляров, опущенных на стороны треугольника из какой-либо точки описанной окружности, лежат на одной прямой (прямая Симпсона).
232. Доказать, что отрезок, соединяющий ортоцентр треугольника с какой-либо точкой описанной окружности, делится пополам прямой Симпсона, соответствующей этой точке.
233. Доказать, что прямые Симпсона, соответствующие концам диаметра круга, описанного около треугольника, взаимно перпендикулярны и пересекаются на окружности Эйлера.
234. Стороны треугольника неограниченно уменьшаются. Справедливо ли утверждение, что при этом радиус описанного вокруг этого треугольника круга также будет неограниченно уменьшаться?
235. Может ли быть правильным треугольник, расстояния вершин которого от двух данных взаимно перпендикулярных прямых выражаются целыми числами?
236. Существует ли треугольник, длины сторон которого выражаются тремя последовательными целыми числами, наибольший внутренний, угол которого в два раза больше наименьшего внутреннего угла этого треугольника?
237. Доказать, что для всякого прямоугольного треугольника имеет место соотношение
где /— произвольный линейный элемент данного треугольника, a I1 и I2— сходственные элементы треугольников, на которые разбивает его высота, опущенная на гипотенузу.
238. Из основания высоты прямоугольного треугольника под углом 45° к гипотенузе проведены две прямые до пересечения с катетами. Доказать, что отрезок, соединяющий точки пересечения этих прямых с катетами, равен биссектрисе, проведенной из вершины прямого угла данного треугольника.
239. Доказать, что если стороны треугольника ABC связаны соотношением Ь2-{-с2 = 5а2, то медианы, выходящие из вершин В н С, взаимно перпендикулярны.
240. На отрезке MN, соединяющем основания внутренних биссектрис AM и BN треугольника ABC, взята произвольная точка Р, из которой опущены перпендикуляры PD, PC и PF соответственно на стороны ВС, CA и AB треугольника. Доказать, что PF = PD -\-РЕ.
§ 2. МНОГОУГОЛЬНИКИ
205
§ 2. Многоугольники
1. Доказать, что сумма квадратов диагоналей четырехугольника равна удвоенной сумме квадратов отрезков, соединяющих середины противоположных сторон.
2. Доказать, что сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов непараллельных сторон, сложенной с удвоенным произведением оснований.
3. Диагонали AC и BD вписанного в круг четырехугольника ABCD пересекаются в точке Е. Доказать, что
4. Отрезки AB и CD пересекаются при их продолжении в точке М. Доказать, что если AM - BM = MC - MD1 то вокруг четырехугольника ABCD можно описать окружность.
