Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
176. В треугольник вписана окружность. Вокруг нее описан квадрат. Доказать, что вне треугольника лежит меньше половины периметра квадрата.
177. Доказать, что если в треугольнике ABC угол С— 120°, то из отрезков 1) а, с, а-{-Ь и 2) Ь, с ъ а-\-Ъ можно построить треугольник. Определить один из углов этого треугольника.
178. Через точку, лежащую внутри треугольника, проведены прямые, соответственно параллельные его сторонам а, Ь, с. Доказать, что отрезки ar, Ь' и с' этих прямых, ограниченные сторонами треугольника, удовлетворяют соотношению
179. Доказать, что если а, о, с— стороны треугольника ABC, ka, kb, kc — биссектрисы углов этого треугольника, т и п\ р и q; s и t — отрезки, на которые биссектрисы делят соответственно стороны а, Ь, с, то
а (k2a~\-mn) = b{k\-^r pq) = с (kl-\~st).
180. Доказать, что если точка M есть середина отрезка AB, то для любой точки С, лежащей на прямой AB, отрезок CM равен полуразности отрезков AC и ВС, если С лежит между А и В\ CM равен полусумме AC и ВС, если С лежит на продолжении отрезка AB.
181. Доказать, что если из вершин треугольника ABC опустить перпендикуляры AA1, BB1 и CC1 на произвольную прямую /, лежащую в плоскости этого треугольника, и из оснований A1, B1, C1 этих перпендикуляров вновь опустить перпендикуляры на стороны ВС, CA и AB, то эти последние перпендикуляры пересекутся в одной точке.
182. AF — медиана треугольника ABC Из вершины Б и из точки M пересечения медиан опущены перпендикуляры BD и ME на сторону АС. Доказать, что
AD — CD — Ъ (AE — СЕ).
200
Планиметрия. Гл. XVII. ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
183. Доказать, что прямая BD9 делящая сторону AC треугольника ABC на части, пропорциональные сторонам AB и ВС, есть биссектриса угла В.
184. На сторонах AB и AC треугольника ABC построены квадраты; вершина D, противолежащая вершине В первого квадрата, соединена с вершиной E9 противолежащей вершине С второго квадрата. Доказать, что
DE2 + ВС2 = 2 (AB2 + AC2).
185. Из произвольно взятой на плоскости точки M опущены перпендикуляры на стороны данного треугольника. Доказать, что сумма квадратов трех отрезков сторон треугольника, взятых через один, равна сумме квадратов остальных трех отрезков.
186. В остроугольном треугольнике ABC проведены три высоты: AE9 BF и CD. Доказать, что отрезки DE9 EF и DF9 соединяющие основания высот треугольника, образуют с его сторонами треугольники, подобные данному.
187. Доказать, что для любого треугольника
з У"з *
где s — его площадь, а р — полупериметр. При каком условии имеет место знак равенства?
188. Доказать для треугольника соотношение
/E1Ze2Ze3 (a + b) (b ¦f с) (с + а)
где A1, A2, A3—высоты, Ъ1% Ь2, Ъъ — биссектрисы, р — полупериметр, R— радиус описанной окружности, а9 Ь9 с — стороны.
189. Из точки D, взятой на гипотенузе прямоугольного треугольника ABC9 восставлен перпендикуляр, который пересекает катет BA, описанную вокруг этого треугольника окружность и продолжение другого катета соответственно в точках K9EnF. Доказать, что
KD-DF = DE2.
190. Доказать, что произведение AB • ВС двух сторон треугольника ABC равно произведению высоты BD на диаметр описанной вокруг треугольника окружности.
191. Доказать, что во всяком треугольнике расстояние между центрами круга, описанного вокруг треугольника и вписанного в треугольник, определяется равенством
P = R(R-2г),
где г — радиус вписанного, a R — радиус описанного круга.
192. Пусть а, Ь, с — длины сторон треугольника; А, В, С — величины противоположных углов. Доказать, что
Aa + Bb + Cc^~(Ab + Ba + Ac + Ca+ Вс + СЬ).
193. Через точку О плоскости проведены четыре луча (т. е. полупрямые): OA, OB, ОС, OD. Проведена произвольная прямая /, пересекающая эти лучи соответственно в точках A1, B1, C1, D1. Доказать, что при любом положении прямой / выражение
A1C1. A1D1 C1B1 ' D1S1
имеет одно и то же числовое значение.
§ 1. ТРЕУГОЛЬНИК
201
194. Точка M лежит внутри треугольника. Расстояния от этой точки до сторон треугольника равны X1 yt Z1 а соответствующие высоты треугольника равны а, Ь% с. Доказать, что
ube
(следствие из теоремы Жергона),
195. Внутри треугольника ЛВС в.зята точка О. Прямые AO1 BO1 СО пересекают стороны BC1 CA и AB соответственно в точках P1 Q1 R. Доказать, что
AR BP CQ
RB ' PC ' QA ~Ь
Сформулировать и доказать обратную теорему
196. Доказать, что
Ra V 4P2 — а2 + Rb / 4#2 — b2 + Rc У 4#2 — с2 = abc,
где а9 Ь9 с — стороны треугольника, a R — радиус описанного круга.
197. Из точки M1 взятой внутри прямоугольного треугольника ABC1 проведены перпендикуляры MX1 MY н MZ соответственно на гипотенузу AB и на катеты ВС и АС. Доказать, что аах -\~bbx + ссх = с2% где ах = BY1 B1 = CZ1 Cx = AX1 ас — длина гипотенузы.
198. В плоскости равностороннего треугольника со стороной а дана точка, расстояния которой до вершин треугольника равны т% п и р. Доказать, что
a4 -f - т* -f - я4 + р4 = а2т2 -f - а2п2 + а2р2 -f- т2п2 + п2р2+р2т2.
199. Все углы треугольника ABC разделены на три равные части прямыми /,
