Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
1.
s = -xVabchahbhc.
2. iha + hb + hc)(± + ± + ±) = (a + b + c)(l + ^ + L).
І Є<Ь2-сг)
3. S = -T-(*>«)•
л be , ab ас ґ ^ , ^ ч
4. —йг H--*- = —*- (я > b > с).
tili її
lala 1C1C 1Ь1Ь
б. Ab2C2 = l2a(b-\- с)2 + Й2 (Ь — с)2.
6. 4 (haka + hbkb + hckc) = а* + V + А
7.
AXT""1"" Ть~^~Т~с)~
kakbkc
8. 5 = і- (а/г^ -f- + СЮ •
л T п T rr ! п
9. /га/га = = .
/2 /2 /2
10. ala -\-blb -\-clc =abc.
11. ІМ = МІа, где / — центр вписанной окружности, Іа — центр окружности, вневписанной в Л, a Af — точка пересечения ІаІ с описанной окружностью,
12. о — + с) (с + д) (g +
13- s = Vrrarbrc.
14. • s =
16. 8^ГГауГШ=7^+7
16. 17.
5 =
Га —Г rr (г,-\- г )
Га —Г
§ 1.. ТРЕУГОЛЬНИК
№
18. s
19. S =
31.
32
42.
rb + re'
(а — Ь) rarb ra~rb
20. , = (a + »>"«.
' I 'C
21. rra = (p — b)(p — c).
22. ARra (p — a) = abc.
23. a2 + (ra-r)2 = AR(ra-r).
24. rarb -rrc = l(a2 + ?2- ?2).
25. a? + to -f- = p2 + r2 + 4/?r.
26. 4Rrp = abc.
27. p2r = rew
28. a2 + 62 + c2 = 2/?2 — 2r2 — 8/?r.
д6 -f- 6c + ca
29. ha + hb + h{
C
2R
зо l__L-i_J-4-_L__L_i_JL_i__L
ha + hc і ^4-й« і йс+_й>_)
rh Гп r«
oca
r rJ r.r + r r + r r.
а о с _. be1 с a ' a 6
hahbhc hbhc + + hahb'
33. ra + r„ + ^ = 4/? + r.
34. a (kb + kc) + b (kc + ka) + с (fte + A6) = 2ptf.
35. 4 {k„kc -h Ac*a + Aeftft) be + ca + ab — AR (R + г).
36. 9 • бсГ,2 = /^ + 5гг—16#r*.
37. ЯО''=:4/?2 + 4/?г + Згг —р2.
38. 9OO"=p8 + 6/^ —r» + 4A(3re —г)**.
39. 0^ = (ra + r6)2 + c2.
40. GO'2 + GOl + GO"26 + GO2. = 1 б/?2 — -± (?2 + *2 + с2)-
41. ЯО^ + Ш2+ 48/?2 —4(a2 + 62+ с3).
b . с \ a-\-b + с
/JL_i_A_j_JL\ д + 0 + c _^
x a S с ' а 1 ft 1 с
43. a2 = (/-a — r)-(r*+rc).
44. 0'Oa • 0'0S • 0'0C = 16/?V.
45. AOa-BO„-CC0 = WrI.
46. ОьОе-ОеОа.ОаОь=\Шр.
47. d2=/?2 + /?ra.
* G — точка пересечения медиан, О' — центр вписанной окружности. ** Оа, O0,00 — центры вневписанных окружностей, г , rh, г — их радиусы.
192
Планиметрия. Гл. XVII. ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
48. <? + dl 4- 4 + dl = 12R\
49. 3 (d2 + 4 + 4 + 4) = 4 (a2 + b2 + с2) + 4 • O773.
50. й'а+АІ + А^ = 2(/? + г).
61. Aa + ?o + Ac = # + r.
62. г* + г2 + г| + rj = 4/?з _|_ а;2 + A;2 + h'c\
63. а'ьА^4- йХ 4- h'ah'b = 2/? (Ae + h"b -|- й").
64. а2н-а;2 = &2+а;2 = с2+а;2 = 4я*.
65. 4 {kl H- *1 H- ft2) = 12Я2 — (a2 H- Z>2 -f с2).
66. s=2R
69.
62. 63.
hahbhc
abc
67. V c H- rcra H- гаг„ = p2.
Я 1
68. г3 = т^-пг-і-лз- MA-
60. ^==^(^ + 0-
Ol. —H--з" 1--2--1 IF -
^ ^ Г6 П rrarbrc
Jl
4R + r
(a — b)(a — c) ' (b — a)(b — c) 1 (c — a)(c — b) '
2 2 _ra ,__^_
(« H- c) (а — 6) (а — с) ' (с H- в) (Ь — а){Ъ — с)'
-2 ,2
4/?
(a + b)(c-a)(c-b) (b + с)(с + a) (a + b)~ 4(arl + brl + crl) + (a + b + c)3 (* + b + c)(.ra + rb + re)
66. ' ^.+ ^-н-^=4(А_Л.
67.
68. + +
69. ?^- + ^4-^=1.
70. 71.
bc
, ca
1 so2
1 col
AO'2
I ю'21
, CO'2
bc
1 ca 1
1 <г6 '
1 1
2
r ra
~~ Лв'
1 4- 1
2
— h '
а
§ 1. ТРЕУГОЛЬНИК
193
76.
75.
74.
73.
77.
78.
79.
г P '
81.
80.
г a hb ' hc H1
СО' -СОс _ Ь ВО'*ВОь~- с в
АО' - АОа = be.
82.
83.
84.
АО'2 +ВО'2 + СО'2 = bc + ca + ab—\ 2Rr.
85. Доказать, что отношение суммы квадратов сторон треугольника к сумме
4
квадратов его медиан равно -g-.
86. Доказать, что из медиан любого треугольника можно построить треугольник.
87. Доказать, что в прямоугольном треугольнике сумма катетов равна сумме диаметров вписанной и описанной окружностей.
88. Доказать, что если длины сторон прямоугольного треугольника выражаются целыми числами, то произведение чисел, выражающих длины катетов, делится на 12.
89. Доказать, что площадь прямоугольного треугольника равна произведению отрезков гипотенузы, на которые ее делит точка касания вписанного круга.
90. Доказать, что сумма квадратов расстояний точки от вершин треугольника равна сумме квадратов расстояний центра тяжести треугольника от его вершин, сложенной с утроенным квадратом расстояния данной точки от центра тяжести.
91. Доказать, что условие
необходимо и достаточно для того, чтобы C = 90°.
92. Доказать, что во всяком треугольнике сумма трех его медиан меньше периметра и больше полупериметра.
93. Доказать, что
где s — площадь треугольника, а г — радиус вписанного в него круга. 94. Доказать, что если на основании AC равнобедренного треугольника ABC взять произвольную точку M и соединить ее с противолежащей вершиной В, то
ВС2 — BM2 = AM- СМ.
ab = chc.
13 П. С. Моденов
194 Планиметрия. Гл. XVII. ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО