Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
89. В треугольнике ABC дано:
a = 7S, R = 65, г = 28,
где R и г — радиусы описанной и вписанной в треугольник окружностей. Вычислить без таблиц длины сторон b и с.
81. В остроугольном треугольнике со сторонами а, Ъ9 с определить величину выражения
ha - HA + hb - HB + hc. HC9
где H—точка пересечения высот треугольника.
82. Биссектриса среднего по величине угла треугольника равна меньшей его стороне и делится другими биссектрисами в отношении 1 : 2. Определить стороны треугольника, если его периметр равен 21.
83. В треугольнике ABC проведена биссектриса AD и продолжена до пересечения в точке К с описанной окружностью. Выразить через стороны разность *
АО OD OD DK9 где О — центр вписанной окружности.
84. Даны длины а, Ъ, с сторон треугольника ABC. Две окружности равных радиусов, расположенные внутри треугольника ABC9 касаются друг друга, причем одна из них касается еще сторон AC и ВС. Найти радиус.
131 V~3
85. Периметр треугольника равен 20. Сумма его высот равна —^— и РаДиУс
71^3
описанной окружности равен -~—. Определить стороны.
86. I19 /2, I3— три параллельные между собой прямые, причем прямая I2 проходит между прямыми I1 и I3. Расстояние между прямыми I1 и I2 равно а9 расстояние между прямыми I2 и I3 равно Ъ. Вычислить площадь равностороннего треугольника, вершины которого лежат на данных прямых.
87. На сторонах BC9 CA и AB треугольника ABC взяты соответственно точки P9 Q9 R такие, что
^-а U.-B і*-т
Найти отношение площади треугольника PQR к площади треугольника ABC.
88. AB — сторона правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса R. В меньший сегмент этой окружности, отсекаемый от нее хордой AB9 вписан правильный треугольник, одна из сторон которого перпендикулярна AB. Найти длину стороны этого треугольника.
§ 2. МНОГОУГОЛЬНИКИ
185
89. Определить площадь равнобедренного треугольника, зная площади S1 вписанного и S2 описанного около него кругов.
90. Стороны треугольника ABC равны соответственно а9 Ь, с. Определить, в каком отношении биссектриса угла ВАС делит отрезок стороны ВС. заключенный между точками пересечения ВС с медианой и высотой треугольника, проведенными из вершины А.
91. Правильный треугольник ABC разбивается прямой на два треугольника: ABD и ACD. В каком отношении прямая AD делит сторону ВС, если радиус круга, вписанного в треугольник ABD, в два раза больше радиуса круга, вписанного в треугольник ACD?
92. В треугольник ABC вписаны четыре круга таким образом, что один из них касается трех сторон треугольника и трех других кругов, а каждый из остальных касается двух сторон треугольника ABC и первого круга. Определить радиус первого круга, если радиусы трех .остальных кругов, равны гх, /*2, г3.
93. Стороны треугольника ABC разделены в отношениях
BP _у CQ _ AR _ PC ~ 9 QA — V" RB ~"V-
Найти отношение площади треугольника А'В'С, образованного прямыми AP BQ и CR, к площади треугольника ABC.
94. Внутри треугольника ABC, площадь которого равна S9 взята точка О. Прямые АО и ВО делят треугольник на 4 части:
пл. Д AOB = а9 пл. Д OPCQ = Ъ.
Найти площади треугольников ВОР и OAQ.
95. Дан угол ABC = 60° (В — вершина). Точка M отстоит от сторон угла на расстоянии U1 и d2. Найти расстояние от точки M до биссектрисы угла ABC.
§ 2. Многоугольники
1. ABCD-параллелограмм, Р—середина AB, Q—середина ВС, R—середина CD и S — середина AD. Прямые AQ, CS, BR и DP при взаимном пересечении образуют параллелограмм. Найти отношение площади этого параллелограмма к площади данного параллелограмма.
2. Вершина А квадрата ABCD соединена прямой с некоторой точкой M на CD9 причем AM = d. Биссектриса AN угла ВАМ пересекает сторону ВС в точке N. Определить сумму DM-\-BN.
3. Определить площадь ромба ABCD, зная, что радиусы окружностей, описанных около треугольников ABD и ACD, равны соответственно R и г.
4. В треугольник со сторонами 13, 14 и 15 вписан прямоугольник, одна из диагоналей которого параллельна меньшей стороне, а одна из сторон параллельна большей стороне треугольника. Найти стороны прямоугольника.
б. В окружность вписан четырехугольник ABCD, причем BC = CD. Отрезки AB9 AC и AD удалены от центра окружности соответственно на 8 см, 5 см и 1 см. Определить CD.
6. На двух смежных сторонах квадрата со стороной 2а как на диаметрах во внешнюю сторону построены две полуокружности и к этим полуокружностям проведены касательные, параллельные соответствующим сторонам квадрата. Найти радиус окружности, касающейся этих полуокружностей внешним образом и проведенных касательных.
7. В прямоугольной трапеции, высота которой равна 2h, на стороне, не перпендикулярной основанию, как на диаметре, описана окружность; оказалось, что она касается противоположной стороны трапеции. Найти площадь прямоугольного треугольника, у которого катеты — основания трапеции.
186
Планиметрия. Гл. XVI. ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ
8. Найти длину отрезка прямой, заключенного внутри трапеции, если эта прямая параллельна основаниям а и Ъ трапеции и делит ее площадь пополам. 9; Определить площадь трапеции, если площади треугольников, образованных пересечением диагоналей и прилегающих к основаниям трапеции, соответственно равны т2 и п2. 10; По четырем сторонам трапеции вычислить ее диагонали. Hv Найти площадь трапеции по ее четырем сторонам.
