Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
124. Доказать, что произведения расстояний любой точки круга, описанного около треугольника, от одной из его сторон и от противоположной вершины равны между собой.
125. А — острый угол прямоугольного треугольника ABC; AM — медиана, AD — биссектриса. Доказать, что
AD < AM.
126. В прямоугольный треугольник вписан квадрат MNPQ так, что его вершины M vl N лежат на гипотенузе AB, а вершины PhQ — на катетах ВС и АС. Доказать, что
PN2^BN-AM.
127. В треугольнике ABC проведена высота AD. Доказать, что разность квадратов боковых сторон равна разности квадратов соответствующих отрезков основания треугольника.
13*
196
Планиметрия. Гл. XVII. ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
128. В прямоугольном треугольнике а и Ь — катеты, с — гипотенуза, h — пер-т пендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу. Доказать, что треугольник, стороны которого a-\~b, h и c+-h9 также прямоугольный. Какова его гипотенуза?
129. Биссектриса угла В, заключенного между неравными сторонами треугольника ABC9 пересекает сторону AC в точке D. Из середины отрезка BD восставлен к нему перпендикуляр, пересекающий сторону AC (или ее продолжение) в точке Е. Доказать, что
130. Треугольник вписан в окружность. Доказать, что произведение расстояний любой точки окружности до двух сторон треугольника равно произведению расстояний этой точки до третьей стороны и до касательной, проведенной через вершину, противоположную этой стороне.
131. Доказать, что точки пересечения сторон треугольника с биссектрисами одного внешнего угла и двух внутренних (не смежных с этим внешним) лежат на одной прямой.
132. Доказать для треугольника соотношение .
2У(р-Ь)(р-с) ^ а.
133. На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC взята точка P так, что АР==т9 PB = nt PC = d. Доказать, что
a2m2 + b2p2 = c2d29
где а и b — длины катетов, а с — длина гипотенузы.
134. Через вершины А и В равностороннего треугольника ABC проведена окружность. Через вершины AnC этого же треугольника проведена другая окружность, пересекающая первую в точке P под прямым углом. Доказать, что можно построить прямоугольный треугольник, катеты которого равны отрезкам BP = п и CP = р, гипотенуза — отрезку AP = т.
135. На отрезке AB и на его продолжении взяты точки PnQ такие, что
Доказать, что середина H отрезка PQ лежит вне отрезка AB.
136. Доказать, что площадь треугольника, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей треугольников, подобных этому треугольнику, построенных на катетах (гипотенуза и катеты являются сходственными сторонами подобных треугольников).
137. Доказать, что если в треугольнике ABC угол А меньше угла C9 то биссектриса угла А больше биссектрисы угла С.\
138. Периметр треугольника равен 2. Доказать, что.
(я, с — длины сторон треугольника).
139. Доказать, что центры правьльных треугольников, построенных на сторонах любого треугольника и примыкающих к нему извне, служат также вершинами правильного треугольника.
149. Доказать, что если площади двух прямоугольных треугольников относятся как квадраты гипотенуз, то треугольники подобны.
141. Доказать, что в треугольнике
DE2 = AE-СЕ.
AP PB
AQ_ QB '
а (д _ і )? + ь (b — 1 )? + с (с — 1 )2 — аЬс (в_1)(а_1)(с_1)
abc(ka + hb + hcy 2 (ab-\-be+ со) '
§ 1. ТРЕУГОЛЬНИК
197
142. Если стороны треугольника составляют арифметическую прогрессию с разностью dt то
ft* —4<Р=12г*в
где b — средняя по величине сторона треугольника, а г —радиус вписанного круга.
143. Доказать, что если стороны остроугольного треугольника составляют арифметическую прогрессию, то сумма расстояний от центра описанного круга до большей и меньшей сторон равна диаметру вписанного круга.
144. Доказать, что если стороны тупоугольного треугольника составляют арифметическую прогрессию, то разность расстояний от центра описанного круга до меньшей и большей сторон треугольника равна диаметру вписанного круга.
145. Доказать, что во всяком треугольнике сумма расстояний от центра описанного круга до сторон треугольника равна сумме радиусов кругов вписанного и описанного.
148. Доказать, что прямые, соединяющие вершины треугольника с точками прикосновения вневписанных окружностей, касающихся противоположных сторон, проходят через одну точку (точка Нагеля).
147. Доказать, что если стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию, то точка Нагеля (см. № 146) лежит на прямой, соединяющей центр тяжести треугольника с центром вписанного круга.
148. Доказать, что в треугольнике, у которого разность углов при основании равна 90°, биссектриса внутреннего угла при вершине равна биссектрисе внешнего угла.
149. На прямой даны три точки: А, В и С (точка В лежит между А и С). На отрезках AB и ВС по одну сторону от прямой построены равносторонние треугольники ABC1 и BCAx. Точки M и — середины отрезков AAx и CCx. Доказать, что треугольник BMN — равносторонний.
150. В треугольнике ABC прямые АР, BQ и CR пересекаются в одной точке О (точки Р, Q и R лежат соответственно на сторонах BCt CA и AB). Для того чтобы имели место равенства
