Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
28. Доказать, что если в произвольном четырехугольнике ABCD провести внутренние биссектрисы, то четыре точки пересечения биссектрис углов AuC с биссектрисами углов BnD лежат на окружности.
29. Доказать, что диагонали четырехугольника взаимно-перпендикулярны, если его последовательные стороны a, b9 C9 d удовлетворяют соотношению с2 — — d* = b2 — a2 (b>a9 c>d).
§ 2. МНОГОУГОЛЬНИКИ
207
30. Доказать, что прямые, соединяющие последовательно центры квадратов, построенных на сторонах параллелограмма и примыкающих к нему извне, образуют также квадрат.
31. Доказать, что разность между суммой квадратов расстояний произвольной точки плоскости до двух противоположных вершин параллелограмма и суммой квадратов расстояний от той же точки до двух других вершин есть величина постоянная.
32. ABCD — параллелограмм. Пусть / и т лучи, выходящие из вершины А и идущие по его сторонам AD и AB1 а п — луч, выходящий из вершины А и идущий по диагонали АС. Пусть P9 Q1 R— точки, в которых произвольная прямая пересекает лучи I1 т и п. Доказать, что
AD AB _АС АР~Ї~ AQ~~~ AR'
33. Доказать, что если диагонали четырехугольника равны между собой, то биссектрисы углов между ними параллельны прямым, проходящим через середины противоположных сторон.
34. Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Пусть rl9 г2, гЪ1г± — соответственно радиусы окружностей, вписанных в ломаные DABC9 ABCD1 BCDA и CD AB.
Доказать, что
AB . CD _ВС , AD
г1 ГЬ г2 ГА '
36. Доказать, что для четырехугольника, который одновременно может быть вписан в окружность и описан вокруг нее, справедливо соотношение
(R + d)* ^ (R-d)* г* '
где г и R — радиусы вписанной и описанной окружностей, a d — расстояние между их центрами.
36. Доказать, что если в квадрат вписать прямоугольник с неравными сторонами, то диагонали квадрата будут служить его осями симметрии (на каждой стороне квадрата лежит одна вершина прямоугольника).
37. Дана трапеция ABCD. Доказать, что имеют место соотношения
AOOC_OBOD OA OD_QB-ОС АС* ~ BD* И AD* ~ ВС* '
где О — точка пересечения диагоналей трапеции.
38. Доказать, что прямые, соединяющие середины диагоналей каждого из пяти четырехугольников, составленных пятью прямыми, пересекаются в одной точке.
39. Доказать, что прямые, соединяющие каждую из вершин четырехугольника с,центром тяжести треугольника, образованного тремя остальными вершинами, пересекаются в одной точке.
40. Через середину каждой диагонали четырехугольника проведена прямая, параллельная другой диагонали; точка пересечения этих прямых соединена с серединами сторон четырехугольника. Показать, что последними четырьмя прямыми данный четырехугольник разбивается на четыре равновеликие части.
41. Доказать, что всякий четырехугольник, не являющийся параллелограммом, можно спроектировать (из точки) в квадрат.
42. В треугольнике из основания каждой высоты опущены перпендикуляры на две другие стороны, Доказать, что:
а) основания этих перпендикуляров являются вершинами шестиугольника, три из сторон которого параллельны сторонам треугольника;
б) вокруг этого шестиугольника можно описать окружность.
208 Планиметрия. Гл. XVII. ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
43. Даны треугольники ABC и DEF1 а также точка О. Берется любая точка. X в треугольнике ABC и любая точка Y в треугольнике DEF. Треугольник OXY достраивается до параллелограмма OXYZ. Доказать, что все полученные таким образом точки образуют многоугольник. Сколько сторон он имеет? Доказать, что его периметр равен сумме периметров исходных треугольников.
44. В произвольном шестиугольнике соединены, через одну, середины сторон. Доказать, что точки пересечения медиан двух образовавшихся треугольников совпадают.
45. Дан выпуклый многоугольник. Внутри взята произвольная точка М. Из точки M опускаются перпендикуляры на стороны многоугольника или на их продолжение. Доказать, что по крайней мере один перпендикуляр пересечет сторону многоугольника, а не ее продолжение.
46. Доказать, что к квадрату нельзя приложить более 8 не налегающих друг на друга квадратов такого же размера.
47. Доказать, что если у шестиугольника противоположные стороны параллельны и три диагонали, соединяющие противоположные вершины, равны,
то вокруг него можно описать окружность.
48. Л, В, С, D — четыре последовательные вершины правильного семиугольника. Доказать, что
AB'
AC^ AD*
60.
49.
Через произвольные точки LwU проведены прямые: 1, 3, 5 через точку L и 2, 4, 6 через точку UДоказать, что три прямые, каждая из которых проходит через пару точек:
16 56 54
34, 32. 12,
проходят через одну точку. Замечание. 15, 32, 56 и т. д.—точки, в которых пересекаются прямые 1 и 6; 3 и 2; 5 и 6 и т. д. Каждая из прямых 1, 2, 3, 4, 5, 6 предполагается отличной от прямой LU (черт. 58). Из каждой вершины квадрата как из центра проведена окружность радиуса, равного стороне квадрата. Доказать, что фигура, полученная в пересечении четырех кругов, может вращаться внутри треугольника так, что все время каждая из сторон треугольника будет иметь одну общую точку с периметром фигуры.
