Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
42. Доказать, что три окружности, имеющие диаметрами три хорды четвертой окружности, выходящие из одной ее точки, попарно пересекаются в трех точках, лежащих на одной прямой (теорема Сальмона).
43. Доказать, что четыре окружности, касающиеся трех данных окружностей, подобно тому, как вписанная и вневписанные окружности треугольника касаются его сторон, касаются некоторой пятой окружности (теорема Гарта).
44. На каждой стороне данного треугольника во внешнюю сторону строится равносторонний треугольник, и вокруг каждого из этих построенных треугольников описывается окружность (внешние окружности Торичелли данного треугольника). Доказать, что три внешние окружности Торичелли имеют общую точку. Доказать, что аналогичным образом построенные внутренние окружности Торичелли также имеют общую точку.
45. Доказать, что если O1, O2, O3 — центры окружностей, симметричных с описанным кругом треугольника ABC относительно его сторон, то треугольники ABC и O1O2O3 равны и имеют общую окружность (O9) Эйлера (теорема Карно).
46. Если построить окружности Г1г Г2і Г3 так, что каждая из них касается одной из сторон треугольника и продолжений двух других сторон, и если построить еще три других окружности Г[, Гг2, Гд так, что каждая из них касается двух из трех внешним образом, а третьей — внутренним образом, то эти три последних круга пересекутся в одной точке P1 а прямые, соединяющие эту точку P с центрами трех первых окружностей, будут соответственно перпендикулярны трем сторонам треугольника (теорема Штейнера).
47. Доказать, что если стороны BC1 CA1 AB треугольника АБС пересекаются окружностью в точках А', А", Б', В" и С, С", то
А'В • В'С • CA _ А"С • В"А • CB А'С. В'А • CB ~ А"В • В"С • С"А
(теорема Карно).
48. Доказать, что если стороны BC1 CA и AB треугольника ABC пересекаются окружностью в точках А', А"\ В', В" и C1 С и прямые AA', ВБ\ CC пересекаются в одной точке, то прямые AA', BB", CC" также пересекаются в одной точке (теорема Теркема).
49. Доказать, что если все стороны четырехугольника при продолжении касаются одной окружности, то разность двух противоположных сторон равна разности двух других сторон (теорема Штейнера).
60. Доказать, что произведение расстояний от какой-либо точки окружности до двух противоположных сторон вписанного четырехугольника равно произведению расстояний той же точки до двух других сторон (теорема Паппа).
51. В многоугольник вписана окружность, и точки касания последовательно соединены. Доказать, что произведение расстояний любой точки окружности до сторон полученного вписанного многоугольника равно произведению расстояний этой точки до сторон описанного многоугольника.
Глава XVIII
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК
1. Найти геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под данным углом.
2. Найти геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний каждой из которых до двух данных точек равна данному числу.
3. Найти геометрическое место точек, разность квадратов каждой из которых до двух данных точек равна данному числу.
4. Найти геометрическое место точек, отношение расстояний каждой из которых до двух данных точек равно данному числу k( > 0).
5. Найти геометрическое место точек, степени каждой из которых относительно двух данных окружностей (или относительно окружности и точки) равны.
6. Найти геометрическое место центров окружностей, делящих две данные окружности пополам.
7. Найти геометрическое место центров окружностей, имеющих данный радиус и пересекающих данную окружность под данным углом.
8. О — фиксированная точка данной окружности, a M — переменная точка той же окружности. Найти геометрическое место точек ЛГ, лежащих на луче OM и таких, что OM -ОМ' = а2, где а — данное положительное число.
9. Даны точка О и не проходящая через нее прямая /. Пусть M — произвольная точка прямой /, a M' — точка луча OM такая, что OM • OM' = а2, где а — данное положительное число. Найти геометрическое место точек M'.
10. Пусть M — произвольная точка окружности (S) и О — точка, не лежащая на окружности (S). Найти геометрическое место точек M', лежащих на лучах OM и таких, что OM •OM' = а2, где а — данное положительное число.
11. Найти геометрическое место средин хорд, проходящих через данную точку, лежащую внутри окружности.
12. В треугольнике ЛВС вершины BnC неподвижны, а А перейещается так, что периметр треугольника остается постоянным. Определить геометрическое место центров вписанных окружностей,
13. Найти геометрическое место точек, для которых разности расстояний до двух данных прямых равны отрезку данной длины. Разобрать случай параллельных и пересекающихся прямых,
14. Дан равносторонний треугольник ABC. Найти геометрическое место точек M9 для которых
MC2 = MA2 + MB2.
16. Отрезок BC = а движется своими концами по сторонам угла А; найти геометрическое место центров окружностей, описанных около треугольника ABC.
.16. Найти геометрическое место вершин прямого угла неизменяемого прямоугольного треугольника, если две другие его вершины скользят по двум взаимно-перпендикулярным прямым.
