Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
13.
14.
16.
16.
17.
//
/7
/ /
* /
/ /
/ /
/
її
Черт. 67.
Черт. 68.
Доказать, что если около окружности описан шестиугольник 1, 2, 3, 4, 5, 6 (не обязательно выпуклый), то три прямые: 14; 25 и 36, проходят через одну точку (теорема Брианшона).
Указание. Соединяя точки прикосновения, получим шестиугольник, вписанный в окружность. Применить к этому шестиугольнику теорему Паскаля (№ 9) и воспользоваться результатом задачи 8. Доказать, что если около окружности описан пятиугольник, то прямая, соединяющая Одну из вершин этого пятиугольника с точкой прикосновения противоположной стороны, и две диагонали, соединяющие остальные несмежные вершины по две, проходят через одну точку. Доказать, что если около окружности описан четырехугольник, то две диагонали и две прямые, соединяющие точки прикосновения противоположных сторон, проходят через одну точку.
В треугольник вписана окружность. Доказать, что три прямые, соединяющие вершины треугольника с точками прикосновения соответствующих противоположных сторон, проходят через одну точку. Сдвигом называется следующее преобразование плоскости: фиксируем «на плоскости произвольную прямую / и поставим в соответствие каждой точке Af
плоскости, не лежащей на прямой /, точку Af' такую, что отрезок AIAf' параллелен прямой /, а длина его равна kd, где d — расстояние от точки M до прямой/, a k — фиксированное положительное число. Если точка Af лежит на прямой /, то такой точке мы поставим в соответствие эту самую же точку. Наконец, если точки Ж и P лежат по одну сторону от прямой /, то отрезки MM' и PP' будем предполагать направленными в одну сторону, а если, точки МиР лежат по разные стороны от прямой /, то будем отрезки MM' и PP' брать противоположно направленными (черт. 69). Доказать следующие свойства сдвига:
а) если точки M1 N1 P лежат на одной прямой, то соответствующие им точки Af', N', P' также лежат на одной прямой;
б) если отрезок AB параллелен отрезку CD1 то отрезок А'В' будет
AB А'В'
параллелен отрезку CD' и ^ = ;
§ 9. СЖАТИЕ, СДВИГ, ПЕРСПЕКТИВА, ГОМОЛОГИИ
225
в) площади фигур при сдвиге сохраняются;
г) параллельные прямые после сдвига остаются параллельными;
д) как геометрически построить точку N', соответственную данной точке N (даны прямая / и пара соответственных точек M и M' при сдвиге, причем ни точка М, ни точка M' не лежат на прямой /).
18. АБС — произвольный треугольник; прямая MN\\BC (точка M лежит на AB, точка N лежит на АС); пусть О—точка пересечения прямых CM и AN. Доказать, что АО — медиана.
Указание. Произвести преобразование сдвига, принимая прямую ВС за прямую / и поставив в соответствие точке А такую точку А'', что A'B = А'С.
19. Дано изображение А'В'С (черт. 70) центральной проекции отрезка AC и его середины В, Как построить изображение точек, которые делят отрезок AB на произвольное число равных между собою частей.
4'
Черт. 70.
Указание. Проведем через точку А' произвольный луч А'К и отложим на нем отрезки AfPr = P'Q'. Пусть S'— точка, в которой пересекаются прямые В'Р' и CQ''. Тогда, проектируя из точки S' точки А', P', Q' на прямую А'В'С, мы получим соответственно точки А', В', С'. Пусть S—истинный центр проектирования. Произведем тогда косое сжатие к прямой A1B1C (в частности сдвиг), при котором точка S' перейдет в S. Тогда точки P' и Q' перейдут в точки PnQ, лежащие на прямой A'PQ, и при этом в силу свойств сжатия и сдвига AP = PQ. Пусть Л, В, С — точки, которые были спроектированы в точки А', В'', С. Так как по условию AB = BC1 то AC\\A'Q. Если разделить отрезок A'Q' на п равных частей, то после преобразования отрезок A'Q тоже разделится на п равных частей; значит, прямыми, соединяющими точку S с точками деления отрезка A'Q, отрезок AC также разделится на п равных частей. Тогда указанные прямые пройдут через те же точки отрезка А'С, через которые пройдут прямые, соединяющие точку S' с точками деления отрезка A'Q' на п равных частей. Отсюда следует, что знать положение истинного центра проекции нам не нужно. Достаточно разделить отрезок A'Q' на п равных частей и соединить точки деления с S'; указанные прямые разделят отрезок А'С на п неравных частей, служащих изображениями частей отрезка АС, разделенного на п равных частей.
20. Дано изображение Л, В, C1 D углов шахматной доски в центральной проекции. Дать изображение всех клеток доски.
Указание. Решается на основании предыдущей задачи. Построение данэ на черт. 7¦.
21. Пусть / и т — две взаимно-перпендикулярные прямые. Произведем два сжатия плоскости; к прямой / с коэффициентом окат и я /г и к прямой т с коэффициентом сжатия ~ . Пусть в результате этих двух преобразований точка M перейдет в точку M'.
15 П. С. Моденов
226
Планиметрия. Гл. XIX. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ
Преобразование М->М' называется гиперболическим поворотом. Доказать, что гиперболический поворот обладает свойствами сжатия а), б), г), сформулированными в задаче № 1. Доказать, что при гиперболическом повороте сохраняются площади фигур.
