Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
15. Через точку Р, лежащую внутри окружности, провести хорду, которая в пересечении с данной хордой AB делится пополам.
16. Через точку В, данную внутри окружности (Q), провести хорду, вдвое большую расстояния ее от центра О.
17. Через точку пересечения двух окружностей провести секущую так, чтобы сумма или разность полученных хорд равнялась данному отрезку а.
18. Построить параллелограмм, зная основание, высоту и угол между диагоналями.
а) A, la, hc;
б) A9 la, hb;
в) b, та, ть\
г) а, с, hb\ Д) a, b, hb\
е) А, а, Ь\
ж) a, R, hb\
з) b, hb, mb\
и) ma, ha, R; к) A, ma, kb; л) b, hb, ma\ м) A, b, hb, н) А, r, b;
о) A, la, r.
216
Планиметрия. Гл. XIX. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ
19. Построить окружность, проходящую через две данные точки и касающуюся данной окружности.
20. Через данную точку провести две прямые, образующие между собою данный угол и высекающие на данной прямой отрезок данной длины.
21. Построить квадрат, стороны которого проходят через 4 данные точки.
22. Найти на общей внешней касательной к двум данным окружностям точку, из которой данные окружности видны под углами, имеющими данную сумму.
23. В данную окружность вписать треугольник с данным углом так, чтобы сторона, противоположная этому углу, прошла через данную точку, а другая сторона — через другую данную точку.
24. В данной окружности построить хорду данной длины, которая делилась бы пополам данной прямой.
25. Разделить данный треугольник на две равновеликие части прямой, проведенной через точку, лежащую на его основании.
26. Построить треугольник, зная
а) я, A1 Ь2—с2;
б) R9 A1 Ь2 — с2\
в) R9 A1 Ь2 + с2.
27. Построить окружность, отрезки касательных к которой из трех данных точек имеют данные длины. 4
28. Построить треугольник, зная биссектрису угла и отрезки, на которые эта биссектриса разбивает основание.
29. Построить точку, из которой три данные окружности видны под равными углами.
30. На данной окружности найти точку, отрезки касательных из которой к двум данным окружностям были бы равны между собой.
31* Через данную точку, провести окружность, пересекающую две данные окружности под прямыми углами.
32. Построить окружность, пересекающую под прямыми углами три данные окружности, расположенные одна вне другой.
33. Построить окружность, делящую пополам одну из трех данных окружностей и пересекающую две другие окружности под прямыми углами.
34. Построить окружность данного радиуса, проходящую через данную точку и пересекающую данную окружность по хорде данной длины.
§ 2. Метод подобия
1. Построить треугольник, зная
а) A1 ha9 Ъ : с\ ж) а, Ь, с : hc\
б) A1 а9 Ь\с\ з) а : Ъ : с и tna-\-tnb-\-mc\
в) A1 а% hb:b; и) A9 B9 а — Ь\
г) A9 hc9 а : с\ к) ha9 та9 а : с\
д) A1 г, hb : b\ л) ha9 hc1 та;
е) A1 B1 a-\rb\ м) а, Ь9 тс.
2. В данный сегмент вписать квадрат.
3. Построить окружность, проходящую через данную точку и касающуюся двух данных прямых.
4. Даны две окружности и на них по точке. Построить две равные окружности, касающиеся между собой и касающиеся двух данных окружностей в данных на них точках.
б. Построить хорду окружности, делящуюся двумя ее данными радиусами на три равные части.
§ 4. МЕТОД СИММЕТРИИ И СПРЯМЛЕНИЯ
217
6. Построить равносторонний треугольник с данной вершиной, две другие вершины которого лежали бы на двух данных прямых.
7. Построить равнобедренный треугольник, зная его площадь и отношение R : г.
8. Построить вписанный четырехугольник, зная его угол, отношение сторон, образующих этот угол, и диагонали.
9. Разделить пополам площадь треугольника прямой, имеющей данное направление.
19. Построить окружность, проходящую через данную точку, касающуюся данной окружности и данной прямой.
И. Построить окружность, касающуюся двух данных окружностей и данной прямой.
12. Построить окружность, проходящую через данную точку и касающуюся двух данных окружностей.
13. Построить окружность, касающуюся трех данных окружностей.
§ 3. Метод обратноети
1. В данный сектор вписать треугольник, равный данному.
2. В данный сегмент вписать треугольник, равный данному.
3. В данный полукруг вписать четырехугольник, подобный данному.
4. Построить окружность, которая была бы видна из трех данных точек под данными углами.
б. В данный треугольник вписать треугольник, подобный данному, так, чтобы одна из его вершин лежала в данной точке стороны данного треугольника.
§ 4. Метод симметрии и спрямления
1. На данной прямой найти такую точку, чтобы касательные, проведенные из нее к данным окружностям, образовали с данной прямой равные утлы.
2. Построить треугольник, зная:
а) b + ct д, B1 з) ha:b:(a + c), R;
б) a, b, hc~{-c\ и) A1 mb, Ь-\-с\
в) Ь~\~C1 Ь-{~а, В; к) A9 ha1 2р\
г) Л, Ъ9 а-\-с\ л) B9 ha% 2р\
д) Л, Ъ9 а — с\ м) S9 Л, 2p:ha;
е) В, а9 Ъ — ha; н) b, C-A1 с — а;
ж) b, ha9 а-\-с\ о) a = b, Ь~\-с, hc.
3. В данный угол вписать треугольник наименьшего периметра так, чтобы одна из его вершин совпала с данной точкой, лежащей внутри угла.
