Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
Черт. 61.
Y а* —с*
Пусть при этом сжатии точка M перейдет в точку M'. Найти длину отрезка OM'.
4. Пусть К — поверхность прямого кругового конуса, образующие которого неограниченно продолжены в обе стороны. Рассмотрим плоскость тг, которая не проходит через вершину конуса и пересекает все его образующие. Пусть С — линия, по которой эта плоскость пересекает конус К. Впишем в конус К две сферы, каждая из которых касается конусами секущей плоскости тс. Обозначим точки касания этих двух сфер с плоскостью тс^через F1 и F2. Доказать, что F1M-^-F2M = const, где M — любая точка линии С (линия С, по которой плоскость, не проходящая через вершину конуса К и не параллельная ни одной из его образующих, пересекает конус К, называется эллипсом; черт. 62). Указать на значение этой постоянной.
Доказать, что и обратно: если точка M лежит в плоскости (ти) и если сумма F1M F2M равна этой постоянной, то точка M лежит и на конусе К> т. е. на линии С.
Черт. 62.
* И здесь можно ограничиться лишь условием k Ф О и указанное соотношение заменить следующим: _
PM
(см. предыдущее подстрочное примечание).
Планиметрия. Гл. XIX. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ
7.
5. На плоскости даны точки F1 и F2, прямая / и отрезок AB. Найти на прямой / точку M такую, что
FiM+ F2M = AB.
6. Доказать правильность следующего способа построения касательных к окружности, проведенных к ней из внешней точки О, с помощью линейки: через точку О проводим три произвольные секущие: OA1B1, OA2B2, OA3B3 (черт. 63). Пусть P — точка пересечения прямых A1B2 и A2B1, a Q— точка пересечения
прямых A2B3 и A3B2. Пусть T1 и T2 — точки, в которых прямая PQ пересекает окружность. Тогда OT1 и OT2 — касательные, проведенные из точки О к окружности. Указание. Спроектировать прямым круговым конусом данную окружность и точку О в другую плоскость так, чтобы прямые OA1B1, OA2B2, OA3B3 спроек-тировались бы в параллельные прямые, а окружность спроектировалась бы в эллипс. На основании задачи № Зможно затем произвести сжатие, при котором эллипс перейдет в окружность; параллельность прямых при этом сохранится.
Для окружности и трех параллельных секущих положение, указанное в условии задачи, будет иметь место (только пучок прямых с центром в О заменится пучком параллельных прямых); производя преобразования в обратном порядке и замечая, что и при сжатии и при проектировании касательная переходит в касательную, получим требуемое.
а) P и Я — две пересекающиеся прямые, О — произвольная точка, не лежащая ни на прямой р, ни на прямой д. Через точку О проведены секущие OA1B1, OA2B2, OA3B3. Пусть P — точка пересечения прямых A1B2 и Q — точка пересечения прямых A2B3 и A3B2. Доказать, что прямая PQ проходит через точку пересечения прямых р и д.
б) Внутри треугольника ABC взята произвольная точка О. Пусть Р, Q, R— точки, в которых прямые АО, ВО и СО пересекают соответственно стороны ВС, CA и AB. На продолжении сторон ВС, CA и AB взяты точки Pf, Q\ R' такие, что
Черт. 63.
BP PC
BP'
WC'
Доказать, что точки Р'9 Q', R' лежат на одной прямой.
8. Прямая / пересекает окружность в точках А и В. Из произвольной точки M прямой /, внешней по отношению к окружности, проведены две касательные MC и MD к этой окружности (С и D — точки касания). Доказать, что прямая CD проходит через точку пересечения касательных к окружности в точках А и В.
9. Ца окружности взяты произвольные точки 1, 2, 3, 4, 5, 6. Доказать, что точки пересечения прямых:
12 и 45,
23 и 56, 34 и 62,
лежат на одной прямой.
§ 9. СЖАТИЕ, СДВИГ, ПЕРСПЕКТИВА, ГОМОЛОГИИ
223
спроектировалась в эллипс, а прямые 16 и 34 спроектировались в параллельные прямые; затем произведем сжатие, при котором эллипс перейдет в окружность (черт. 65). Тогда
Д 0'5'2' со Д 0'3'4', \
10. На окружности взяты произвольно 5 точек: Черт. 66. 1, 2, 3, 4, 5.
Обозначим через / касательную к окружности в точке /, Доказать, что три точки, в которых пересекаются прямые:
12 и 45, 15 и 23, / и 34,
лежат на одной прямой (черт. 66). Ib Доказать, что во всяком четырехугольнике, вписанном в окружность (не обязательно выпуклом), противоположные стороны и касательные в противоположных вершинах пересекаются в четырех точках, лежащих на одной прямой (черт. 67).
Указание. Если спроектировать данную конфигурацию из точки, не лежащей в плоскости чертежа, в другую плоскость так, чтобы касательные в противоположных вершинах перешли в параллельные прямые, а окружность спроектировалась в эллипс, затем сжать равномерно эллипс в окружность, то задача сведется к теореме о том, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.
224
Планиметрия. Гл. XIX. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ
12. Доказать, что если в окружность вписан треугольник /, 2, 3, то три точки пересечения касательных к окружности в вершинах треугольника с противоположными сторонами лежат на одной прямой (черт. 68). Указание. Спроектировать треугольник так, чтобы прямые 2Af и Af13 перешли в параллельные прямые, а данная окружность спроектировалась бы в эллипс.