Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
24. Доказать, что точка О пересечения медиан треугольника, центр О' вписанной окружности и точка пересечения прямых, соединяющих вершины треугольника A9 B9 С с точками прикосновения к сторонам ВС, CA и AB окружностей (Оа), (Оь), (Ос), лежат на одной прямой.
26. Доказать, что если из концов диаметра круга провести две пересекающиеся хорды, то сумма произведений каждой хорды на ее отрезок от концов диаметра до точки пересечения есть величина постоянная.
26. Из точки C9 лежащей на диаметре AB окружности, проведены касательные CP и CQ. Пусть D — точка пересечения PQ и AB9 a H—середина CD. Доказать, что
CW = HA-HB.
27. Из точки вне окружности проведены две касательные, и точки касания соединены. Доказать, что расстояние от любой точки окружности до этой хорды есть среднее пропорциональное между расстояниями от этой точки до касательных.
28. Точка С лежит вне окружности. Пусть CAB — произвольная секущая, a D — такая точка этой секущей, что AC : CB = AD : DB. Доказать, что геометрическое место точек D есть отрезок PQ (см. № 26).
29. Из точки М, взятой внутри угла А на окружности, описанной вокруг треугольника ABC, проведены перпендикуляры к сторонам треугольника. Длины этих перпендикуляров ра, рь и рс. Доказать, что
• а _ b . с
Ра~ Pb Pc'
30. Из произвольно взятой точки диаметра окружности проведены два отрезка. Один отрезок проведен перпендикулярно диаметру до пересечения с окружностью, другой соединяет взятую на диаметре точку с серединой полуокружности. Доказать, что сумма квадратов этих отрезков равна удвоенному квадрату радиуса.
§ 3. ОКРУЖНОСТЬ
211
81. AB и CD— две пересекающиеся в точке E хорды окружности, центр которой О, F — середина хорды AB. Доказать: 1) что FE2+ CE - DE = AF2; 2) что если хорда CD пересекает хорду AB под углом 45° и проходит через центр, то AF2 +EF2 = R2, где R — радиус окружности.
32. Из точки С окружности на хорду AB опущен перпендикуляр CD. Из концов хорды опущены перпендикуляры AE и BF на касательную к окружности в точке С. Доказать, что
CD2 = AE-BF.
33. Доказать, что если на плоскости заданы три окружности: C1, C2, C3, из которых ни одна не лежит внутри другой, то две точки, в которых пересекаются внутренние касательные к окружностям C1, C2 и к окружностям C1 и C3 лежат на одной прямой с точкой, в которой пересекаются внешние касательные к окружностям C2 и C3 (черт. 59).
34. Доказать, что сумма квадратов длин хорд, соединяющих произвольную точку окружности радиуса R=I с вершинами правильного вписанного в эту окружность пятиугольника, равна 10. Пусть В и D — точки, лежащие на дуге АС, представляющей собою четверть некоторой окружности, причем AB = DC Доказать, что если из этих точек опустить перпендикуляры BE и DF на радиус ОС, то полученная криволинейная трапеция BEFD, ограниченная прямыми линиями и дугой окружности, равновелика сектору OBD.
36. Дан круг радиуса R. Доказать, что в плоскости этого круга можно начер-
тить 7 кругов радиуса так, чтобы каждая точка данного круга принадлежала, по крайней мере, одному из семи кругов.
37. Доказать соотношение
35
Черт. 59.
J2n ¦
• d2
где d — диаметр круга, ап и Ьп — стороны правильных вписанного и описанного м-угольников.
38. Даны окружность и точка вне ее. Из этой точки мы совершаем путь по замкнутой ломаной, состоящей из отрезков прямых, касательных к окружности, а заканчиваем путь в начальной точке. Участки пути, по которым мы приближались к центру окружности, берем со знаком + (плюс), а участки пути, по которым мы удалялись от центра, — со знаком — (минус). Доказать, что для любого такого пути алгебраическая сумма длин участков пути, взятых с указанными знаками, равна нулю.
39. Дан ряд концентрических окружностей с радиусами ги гг, г3, ..., гп.....
причем площадь любого кругового кольца, заключенного между двумя соседними окружностями радиусов rk и rk+u равна площади внутреннего круга, радиус которого гх. Доказать, что наибольшая хорда, целиком лежащая внутри любого такого кругового кольца, равна диаметру внутреннего круга 2гх.
40. Даны окружности O1, O2, O3, проходящие через одну точку О. Вторые точки пересечения O1 с O2, O2 с O3 и O8 с O1 обозначим соответственно через A1, A2 и Аг. На O1 берем произвольную точку B1. Если B1 не совпадает с A1, то проводим через O1 и A1 прямую до второго пересечения с O2 в точке B2. Если B2 не совпадает с A2, то проводим через B2 и A2
14*
212
Планиметрия. Гл. XVII. ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
прямую до второго пересечения с O3 в точке B3. Если B3 не совпадает с A31 то проводим через B3 и A3 прямую до второго пересечения с O1 в точке B4. Доказать, что B4 совпадает с B1.
41. Дано п окружностей: O1, O2, On, проходящих через одну точку О. Вторые точки пересечения O1 с O2, O2 с O3, .. ., On с O1 обозначим соответственно через Лх, A21 Лл. На O1 берем произвольную точку B1. Если B1 не совпадает с Лх, то проводим через B1 и A1 прямую до второго пересечения с O2 в точке B2. Если B2 не совпадает с A21 то проводим через B2 и Л2 прямую до второго пересечения с O3 в точке B3. Продолжая таким же образом, мы получим точку Bn на окружности On. Если On не совпадает с Ап1 то проводим через Bn и An прямую до второго пересечения с O1 в точке Bn+1. Доказать, что Bn+1 совпадает с B1.
