Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
17. А и В — две заданные неподвижные точки окружности, M — подвижная точка этой же окружности. На продолжении отрезка AM в сторону, внешнюю к окружности, откладывается отрезок MN = MB. Найти геометрическое место точек N.
214
Планиметрия. Гл. XVIII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК
18. Стороны деформирующегося многоугольника остаются соответственно параллельными определенным направлениям, в то время как все вершины, кроме одной, скользят по заданным прямым. Найти геометрическое место положений последней вершины.
19. На плоскости даны окружность .S и точка А вне этой окружности. Через точку А и произвольную точку окружности проводится прямая L1. Пусть С и D — точки пересечения этой прямой с окружностью S1 причем AC < AD. В точке С проводится прямая L2 J_ AD. Найти геометрическое место точек C1 и C2 пересечения прямой L2 с окружностью, построенной на AD как на диаметре при вращении прямой L1 вокруг точки А.
20. В плоскости даны треугольник ABC и две точки: MnN. Через точку N проводится прямая d, на которой берутся две точки PnQ так, чтобы треугольник PMQ был подобен треугольнику ABC. Определить геометрические места точек P и Q1 образующиеся при вращении прямой d вокруг точки N.
21. Найти геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух данных прямых равна данной величине. Разобрать случаи пересекающихся и параллельных прямых.
22. На стрронах треугольника PQR отложены отрезки AB1CD1 EF. Внутри этого треугольника задана точка S0. Найти геометрическое место точек S1 лежащих внутри треугольника, для которых сумма площадей треугольников SAB9 SCD и SEF равна сумме площадей треугольников S0AB1 S0CD и S0EF.
23. Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку А проведена секущая, вторично пересекающаяся с окружностями в точках P и Q. Найти геометрическое место точек, описываемое серединой M отрезка PQ1 когда секущая вращается вокруг точки А.
24. Даны окружность радиуса г и ее хорда AB1 равная 2а. Пусть CD — подвижная хорда той же окружности, имеющая постоянную длину 2Ъ. Найти геометрическое место точек пересечения прямых AC и BD. Найти, кроме того, расстояние от середины хорды AB до точки искомого геометрического места, наиболее удаленной от середины, и до точки, наиболее близкой.
26. Даны две параллельные прямые и точка О, лежащая между ними на расстоянии а от одной и b от другой. Через эту точку проводят произвольную секущую, которая пересекает параллельные прямые в точках А и А'. Найти геометрическое место концов перпендикуляра к секущей, проведенного через точку А' и имеющего длину OA.
26. Окружность радиуса R катится внутри окружности радиуса 2R. Какие линии описывают точки катящейся окружности?
27. Дан неподвижный отрезок AB — а. Квадрат APNM вращается вокруг вершины А в положительном направлении, изменяясь при этом так, что
А№ = ВМ*-\-ВР*.
Найти геометрические места центра / квадрата APNM9 а также его вершин. Определить положение квадрата, если сторона PN (или ее продолжение) проходит через заданную точку С. Решить те же вопросы, если размеры квадрата изменяются так, что сумма квадратов расстояний от точки В до четырех вершин квадрата постоянна и равна 10ав2=10#2.
28. В плоскости дан треугольник ABC. Найти геометрическое место точек, каждая из которых обладает тем свойством, что ее расстояние до точки А меньше каждого из расстояний ее до точек В и С
29. Внутри правильного треугольника определить геометрическое место точек, обладающих тем свойством, что из перпендикуляров, опущенных из этих точек на стороны, можно построить треугольник.
Глава XIX
ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ
§ 1. Метод геометрических мест
1. Построить окружность данного радиуса, касающуюся двух данных окружностей. Исследовать.
2. Даны две концентрические окружности и еще окружность, их пересекающая. Построить окружность, касающуюся этих трех окружностей.
3. Построить ромб так, чтобы две его противоположные вершины были в двух данных точках, а третья лежала бы на данной окружности.
4. Построить треугольник, если даны A, hb и та.
5. Построить окружность с центром в данной точке, которая высекает из двух данных параллельных прямых хорды, равные между собой.
6. Построить треугольник по следующим данным:
7. Построить ромб, зная его высоту и диагональ.
8. Построить окружность, касающуюся стороны ВС треугольника ABC, в данной на ней точке M так, чтобы один из ее диаметров лежал на стороне AB.
9. Построить окружность с центром в данной точке так, чтобы стороны данного угла высекали на этой окружности хорду, параллельную данной прямой.
10. Построить окружность, пересекающую три данные прямые под данным углом.
И. Построить точку, из которой два данных отрезка видны под равными углами.
12. Построить треугольник наибольшей площади, зная А и а.
13. Построить треугольник ABC, зная AC = Ь и радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников ABD и CBD, где BD — высота.
14. Через точки А и В провести две параллельные прямые, расстояние между которыми равно а.
