Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
9. Построить окружность, проходящую через данную точку и пересекающую две данные окружности под данными углами.
(0. Построить окружность, пересекающую две данные окружности и данную прямую под данными углами.
§ 8. Алгебраический метод
1. Построить окружности с центрами в данных точках, которые попарно касаются друг друга.
2. Через две данные точки провести окружность так, чтобы касательная к ней из третьей данной точки имела данную длину.
3. Построить прямую, делящую пополам и площадь, и периметр данного треугольника.
4. Построить прямоугольный треугольник по данной сумме катетов и высоте, опущенной на гипотенузу.
б. На биссектрисе угла дана точка. Через эту точку провести прямую, на которой стороны данного угла высекают отрезок данной длины.
6. Построить окружность, проходящую через две данные точки и высекающую на данной прямой отрезок данной длины.
7. В данную окружность вписать равнобедренный треугольник, зная сумму (или разность) боковой стороны и высоты, опущенной на основание.
8. Из данной точки провести к данной окружности секущую так, чтобы она разделилась окружностью на части, разность которых равна данному отрезку.
9. Построить прямоугольный треугольник, зная разность (или сумму) _его катетов и площадь.
220
Планиметрия. Гл. XIX. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ
10. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и биссектрисе острого угла.
11. Построить радиус г окружности, вписанной в треугольник, зная его площадь и периметр.
12. Через точку, лежащую внутри треугольника, провести прямую, делящую площадь треугольника пополам.
§ 9. Сжатие, сдвиг, перспектива, гомологии (задачи на доказательство и построение)
1. Фиксируем на плоскости произвольную прямую / (черт. 60). Пусть M — произвольная точка плоскости, не лежащая на прямой L Проведем через точку M прямую, перпендикулярную прямой /, и пусть эта прямая пересечет прямую / в точке Р. Возьмем на луче PM точку M' такую, что
PM' _ . PM ~п*
где k — некоторое данное положительное число. По-. ставим точке M в соответствие точку M'. Наконец, ——р каждой точке M1 лежащей на прямой /, поставим
в соответствие эту точку. Черт. 60. Указанное соответствие, определенное для всех точек
плоскости, называется равномерным сжатием или просто сжатием плоскости* к прямой / с коэффициентом сжатия k. Будем всегда обозначать точки, соответствующие точкам M1N9P1... так: М\ N\ P1\ ... Доказать, что:
а) если точки М, N1 P лежат на одной прямой, то соответствующие им точки М\ N't Pf также лежат на одной прямой;
б) если отрезок AB параллелен отрезку CD1 то отрезок А'В1 параллелен отрезку C1D' и
AB _ А'В'. CD ~ CD''
в) если ABC—произвольный треугольник, то пл. /\А'В'С =k • пл. Д ABC;
г) параллельные прямые после сжатия переходят в параллельные прямые;
д) можно геометрически построить точку N', соответствующую данной точке N1 если даны / и пара соответственных точек M и М\ причем точка M не лежит на прямой /; выполнить построение для случая, когда точки MuM' лежат по одну сторону от прямой / и когда они лежат по разные стороны от /.
Фиксируем на плоскости произвольные пересекающиеся прямые I и т. Пусть M — произвольная точка плоскости, не лежащая на прямой /. Проведем через точку M прямую, параллельную прямой т, и пусть эта прямая пересекает прямую / в точке P (черт. 61). Возьмем на луче PM точку M' такую, что
PM' _ь PM '
* Сжатие плоскости к прямой / можно определить и соотношением PM7 , / PM' л
¦ _ = k ВМеСТО -77T7- = k),
PM \ PM }'
где k — произвольное действительное число, не равное нулю (положительное или отрицательное), a P—проекция точки M на прямую / (каждой точке M прямой / Ставим в соответствие ее самое).
Если точка M не лежит на прямой /, то в случае k > 0 образ M' точки M и сама точка M лежат по одну сторону от прямой /, а в случае к < 0 точки M и M' лежат по разные стороны от прямой /.
§ 9. СЖАТИЕ, СДВИГ, ПЕРСПЕКТИВА, ГОМОЛОГИИ
221
где k — некоторое данное положительное число*. Поставим точке M в соответствие точку M'. Наконец, каждой точке М, лежащей на прямой /, поставим в соответствие эту же точку М. Указанное соответствие, определенное для всех точек плоскости, называется косым равномерным сжатием плоскости к прямой / по направлению прямой т с коэффициентом сжатия k. Доказать, что косое сжатие плоскости к прямой обладает свойствами а) — г), сформулированными в предыдущей задаче. Решить для косого сжатия и вопрос д) задачи № 1 этого параграфа.
Доказать еще следующее свойство косого сжатия: на плоскости существует два и только два перпендикулярных направления такие, что две произвольные
взаимно-перпендикулярные прямые, имеющие эти направления после косого сжатия, останутся взаимно-перпендикулярными. Найти стороны прямоугольника, в который при этом переходит квадрат со стороной 1 (дан угол & между прямыми / и т и коэффициент сжатия k).
В треугольнике F1MF2 длина стороны F1F2 равна 2с, а сумма FxM-\-MF2 равна 2а. Пусть I— прямая, перпендикулярная стороне F1F2 и проходящая через середину О отрезка F1F2. Произведем сжатие плоскости к прямой / с коэффициентом сжатия
