Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
TH1 тг и It1 п'. Точки пересечения прямых /' и т\ тг и я; п' и Z обозначим соответственно через P9 Q и R. Доказать, что треугольник PQR правильный.
200. Доказать равенство
d\d%d§ _ abc
~7~-~'
где dl9 d2> d3 — расстояния от центра вписанной окружности (г — ее радиус) до вершин треугольника.
201. В треугольнике ABC сторона ВС = 2АС. Доказать, что медиана AD этого треугольника делит пополам угол между стороной AB и медианой AE треугольника ADC
202. Доказать, что если стороны треугольника пересечь прямой, то произведение всех отрезков сторон, не имеющих общих концов, равно произведению остальных отрезков (теорема Карно).
203. Доказать, что прямая, проходящая через основания перпендикуляров, опущенных из ортоцентра треугольника ABC на биссектрисы угла A9 делит ВС пополам.
204. В треугольниках ABC и А'В'С сумма углов AnA' равна 180°, а углы В и В' равны. Доказать, что аа'=bb''-\- ее''.
205. Доказать, что если один из углов прямоугольного треугольника равен 15°, то произведение катетов равно квадрату половины гипотенузы.
206. В серединах EhF сторон AB и AC треугольника ABC восставлены перпендикуляры
ЕР = ~ и FM = —
во внешнюю сторону треугольника. Доказать, что DP = DM1 если D — середина стороны ВС.
202
Планиметрия. Гл. XVII. ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
207. Доказать для треугольника соотношение
(b + с) V AR2 — а2 + (с -+- a) V AR2 —b2 + {a + b) V^2 — с2 = ApR.
208. Доказать, что если стороны треугольника выражаются тремя последовг-тельными целыми числами, то между радиусами описанного и вписанного кругов существует соотношение
209. В окружность (О) вписан правильный треугольник A1A2A3. Окружность (О') касается окружности (О). Отрезки касательных, проведенных из вершин треугольника к окружности (О'), равны al9 а2, а3. Доказать, что эти отрезки удовлетворяют соотношению
«} + «J + а* = 2 {а\а\ + а\а\ + а\а\).
210. На прямой даны три равных отрезка: AB = CD = ВС. Через точку S, не лежащую на данной прямой, проведены прямые SA, SB, SC, SD. Произвольная прямая, не проходящая через S9 пересекает эти прямые в точках A1, B1, C1, D1. Доказать, что
AA1 , DD1 BB1 , CC1 A1S "+" D1S — B1S C1S •
211. На стороне AC треугольника ABC взята точка D. Через точки А, В, D я В, С, D проведены окружности. Доказать, что диаметры этих окружностей пропорциональны тем сторонам треугольника, которые для них являются хордами.
212. Доказать, что если из произвольной точки, взятой внутри треугольника ABC, опустить перпендикуляры на его стороны: OP Х.АС, ON Х.ВС и OM _]_ AB, то отрезки, на которые основания перпендикуляров делят стороны: AP = и, PC = v, CN = t, NB = z, BM = у, AM = X9 находятся в следующей зависимости:
b (а — V) + a (t — z) -f- с {у — х) = 0.
213. Доказать геометрически, что если в треугольнике две биссектрисы внутренних углов равны, то он равнобедренный.
214. Доказать, что середины сторон треугольника, основания высот и середины отрезков высот, заключенных между каждой из вершин и точкой пересечения высот, представляют собой девять точек, лежащих на одной окружности (окружность Эйлера), центр которой лежит на середине отрезка, соединяющего точку пересечения высот данного треугольника с центром описанного круга и радиус которой равен половине радиуса описанного круга.
215. На сторонах AB и AC треугольника отложим в противоположных направлениях два равных отрезка: BD = CE. Доказать, что отрезок DE делится стороной ВС в отношении, обратном отношению сторон AB и АС.
216. Внутри треугольника ABC взята произвольная точка О. Пусть Р, Q и R — точки, в которых прямые АО, ВО и СО пересекают соответственно стороны ВС, CA и AB. На продолжении сторон ВС, CA и AB взяты точки Pr, Q!9 R' такие, что
BP _ ВР[ CQ _ CQf AR _ AR' PC ~~PrC' QA ~ Q'А 9 RB ~ R'В 9
Доказать, что точки Р\ Qf, R' лежат на одной прямой.
217. Доказать, что точка M пересечения медиан треугольника, центр О описанного круга и точка Я пересечения высот лежат на одной прямой (прямая Эйлера), причем
ОМ: MH=I : 2.
§ L- ТРЕУГОЛЬНИК
203
218. Пусть AA1, BB1, CC1- высоты треугольника ABC, a H — точка их пересечения. Доказать, что
АН - HA1 = BH • HB1 = CH • HC1.
219. Доказать, что если прямые AA'', BB' и CC', проходящие через соответственные вершины треугольников ABC и А'В'С, проходят через одну точку, то точки Р, Q, R пересечения соответственных сторон этих треугольников ВС и В'С, CA и CA', AB и A1B' лежат на одной прямой (черт. 56) (теорема Дезарга).
Указание. Спроектировать из точки данную конфигурацию в другую плоскость так, чтобы прямые AB и А'В', Sl также AC и перепроектировались в две параллельные прямые. Тогда и прямые ВС и В'С спроектируются в две параллельные прямые.
220. Сформулировать и доказать теорему, обратную теореме, сформулированной в предыдущей задаче.
221. Проведем две прямые, пересекающие стороны треугольника ABC в точках A1, B1, C1 и A1, B2, C2. Проведем прямые A1B2, B1C2, C1A2 и назовем точки их пересечения соот- Черт. 66. ветственно со сторонами AB, ВС и CA треугольника через C12, A12i B12. Доказать, что эти точки лежат на одной прямой. Проведем прямые A2B1, ^2C1, C2A1 и обозначим через C2i, A21, B21 точки их пересечения соответственно со сторонами AB, ВС и CA. Доказать, что точки C21, A21, B21 также лежат на одной прямой.
