Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
95. Дан треугольник, вписанный в окружность. Доказать, что три дуги, симметричные дугам окружности относительно сторон треугольника, пересекаются в одной точке.
96. Доказать, что если основания высот треугольника соединить, то получим треугольник, для которого эти высоты будут биссектрисами.
97. Доказать, что площадь остроугольного треугольника равна произведению радиуса описанного круга на полупериметр треугольника, вершины которого— основания высот данного треугольника.
98. Доказать, что медиана треугольника меньше полусуммы сторон, ее заключающих, и больше разности между этой полусуммой и половиной третьей стороны.
99. Доказать, что прямая, симметричная с медианой относительно биссектрисы внутреннего угла треугольника, делит противоположную сторону на части, пропорциональные квадратам прилежащих сторон.
100. Доказать, что в треугольнике со сторонами 3 см, 8 см и 10 см наибольший угол в три раза больше среднего по величине угла.
101. Доказать, что высота треугольника и прямая, соединяющая вершину с центром описанного круга, образуют одинаковые углы с боковыми сторонами.
102. Доказать, что если а — гипотенуза прямоугольного треугольника, b и с — длины катетов, s — площадь и р — полупериметр, то
s = p(p—a) = (p — b)(p — c).
103. Дан треугольник ABC. На каждой из его сторон построен равносторонний треугольник (во внешнюю сторону). Доказать, что окружности, описанные вокруг этих треугольников, имеют общую точку.
104. Доказать, что если у треугольника равны две медианы, то он равнобедренный.
105. Доказать, что если у треугольника равны две высоты, то он равнобедренный.
106. Доказать, что угол треугольника будет острым, прямым или тупым, смотря по тому, будет ли противоположная сторона меньше, равна или больше удвоенной соответствующей медианы.
107. Доказать, что треугольник ABC будет остроугольным, прямоугольным или тупоугольным в зависимости от того, будет ли выражение
a2-\-b2+-c* — 8R2
соответственно положительно, равно нулю или отрицательно.
108. Доказать, что во всяком треугольнике большей стороне соответствует меньшая высота.
109. На основании AC равнобедренного треугольника ABC взята точка D. Доказать, что сумма длин перпендикуляров, опущенных из точки D на боковые стороны, не зависит от выбора точки D на стороне АС.
110. На сторонах AB, AC и ВС треугольника, как на основаниях, построены три равнобедренных подобных треугольника: АВР, ACQ, BCR, два первых — вне данного треугольника, а третий — по ту же сторону, что и данный треугольник. Доказать, что APRQ — параллелограмм.
111. Доказать, что если разделить хорду окружности на три равные части и соединить с центром окружности концы хорды .и точки деления, то соответствующий центральный угол разделится на три части, одна из которых больше двух других.
112. На радиусе АО окружности (О—центр), как на диаметре, построена вторая окружность и из произвольно взятой на радиусе точки В восставлен к нему перпендикуляр, пересекающий малую и большую полуокружности соответственно в точках С и O. Доказать, что
ЛО2 = 2ACK
§ 1« ТРЕУГОЛЬНИК
195
113. Доказать, что в прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит пополам угол между медианой и высотой, проведенными из вершины прямого угла.
114. Доказать, что сумма произведений высот остроугольного треугольника на отрезки их от ортоцентра до вершин равна полусумме квадратов сторон. Обобщить это предложение на случай тупоугольного треугольника.
115. Доказать, что квадрат биссектрисы, проведенной через вершину произвольного треугольника, равен произведению боковых сторон без произведения отрезков основания. Выяснить, во что переходит указанное равенство в случае равнобедренного треугольника.
116. Доказать, что точки, симметричные точке пересечения высот треугольника относительно его сторон, лежат на окружности, описанной вокруг этого треугольника.
117. Две вершины треугольника неподвижны, а третья перемещается по некоторому контуру. Доказать, что центр тяжести данного треугольника описывает контур, подобный данному.
118. Доказать, что для любого треугольника отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей, делится описанной окружностью пополам.
119. Доказать, что если в треугольнике между его сторонами а, Ъ и с существует зависимость
a2 = b2 + bct
то
1тА^2?тВ.
120. Доказать, что из всех треугольников с общим углом при вершине и данной суммой длин боковых сторон равнобедренный треугольник имеет наименьшее основание.
121. Внутри прямоугольного треугольника ABC (С — вершина прямого угла) дана точка О, служащая вершиной равновеликих треугольников OAB1 OBC и ОСА. Доказать, что
OA2-\-OB2 = 5 . ОС2.
122. Доказать, что прямая, соединяющая основания двух высот треугольника, перпендикулярна радиусу описанного вокруг треугольника круга, идущему в третью вершину.
123. Доказать, что периметр треугольника, вершинами которого служат основания высот данного треугольника, равен удвоенной площади данного треугольника, разделенной на радиус описанной окружности.
