Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
15. Даны два смежных прямых угла с вершиной в точке О. В один из них вписана окружность радиуса R, а в другой — окружность радиуса г (R > г). Общая внешняя касательная к этим окружностям пересекает стороны углов в точках А и В. Определить площадь треугольника АОВ.
16. Точка внутри круга отстоит от его центра на расстоянии d. Хорда, проходящая через эту точку, делится в ней на части а и й. Определить радиус круга.
17. В окружности радиуса R диаметр продолжен на-длину радиуса и из конечной точки проведена к окружности секущая, делящаяся этой окружностью пополам. Найти длину этой секущей.
fee
Планиметрия. Гл. XVI. ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ
18. A8—диаметр окружности радиуса г. В точке M окружности проведена к ней касательная, встречающая прямую AB в точке Р. Найти проекцию AM на AB1 если AM = 2MP.
19. В круге, радиус которого равен 4, проведена хорда AB так, что сумма расстояний точки В до касательной, проходящей через точку A1 и до точки касания равна 6. Найти длину хорды AB.
20. Внутренняя и внешняя общие касательные к двум окружностям равны а и Ъ. Определить длину общей касательной после того, как окружности будут сближены до соприкосновения.
21. В окружности хорда CD пересекает диаметр MN и параллельную ему хорду AB. Найти условие, при котором произведение отрезков хорды AB равнялось бы произведению отрезков диаметра MN.
22. Дана четверть круга AOB радиуса г (О — центр). На отрезке OA как на диаметре строится полуокружность (внутри данной четверти круга). Прямая, проходяшая через середину отрезка OA перпендикулярно OA1 пересекает построенную полуокружность в точке N1 а данную четверть окружности— в точке М. Найти периметр и площадь криволинейной трапе-ции MNOB.
23. Три ск ужности радиусов г, T1 и R касаются попарно одна другой внешним образом. Найти длину хорды, отсекаемой третьей окружностью от общей внутренней касательной первых двух окружностей.
24. В ромб, который разделяется диагональю на два равносторонних треугольника, вписан круг единичного радиуса. Найти сторону ромба.
25. Через дзе смежные вершины квадрата проведена окружность так, что касательная к ней из третьей вершины равна двойной стороне квадрата. Найти радиус этой окружности, если площадь квадрата равна 10.
26. Окружность касается двух смежных сторон квадрата и делит третью сторону на два отрезка: 8 и 17. Найти радиус этой окружности.
27. Дана равнобочная трапеция с боковой стороной, равной 5, и основаниями 1 и 7. Найти площадь круга, описанного около этой трапеции.
28. В окружность радиуса R вписан треугольник. Даны проекции A1, bl9 C1 сторон а, Ь, с этого треугольника на диаметры, проведенные соответственно из A1 В и С. Найти площадь треугольника.
29. Стороны вписанного в окружность шестиугольника последовательно равны ау Ъ, C1 U1 е, /. Найти необходимое и достаточное условие того, что три прямые, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке.
30. Найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника, зная длину высоты, биссектрисы и медианы, проведенных из одной вершины.
31. О — точка пересечения диагоналей в описанном четырехугольнике ABCD. Найти зависимость между радиусами окружностей, описанных вокруг треугольников AOB1 BOC1 COD и DOA.
32. Круга радиуса г касаются внешним образом три равные окружности, касающиеся, кроме того, попарно между собой. Найти площади трех криволинейных треугольников, образованных указанными окружностями.
33. Три окружности радиусов R1, R21 R3 касаются внешне попарно друг друга. Найти радиус окружности, проходящей через точки касания.
34. Сторона правильного треугольника равна а. Из центра его радиусом ~ опи-
сана окружность. Определить площадь части треугольника, лежащей вне этой окружности.
35. Радиус окружности (О) равен 1. Продолжим диаметр BA этой окружности за точку А (черт. 54). Проведем касательную к окружности (О) в точке В
и отложим на ней от точки В отрезки ?С = 2, CD = ~, СЕ==~.
§ 3. ОКРУЖНОСТЬ
На диаметре BA от точки В отложим отрезок BG = OD. Далее построим
FG\\EO. Найти ~ BF с точностью до 0,000 001 (Шпехт).
38. Вычислить радиус окружности, описанной вокруг четырехугольника, если известны радиусы Ra, Rb, Rc и Rd окружностей, описанных вокруг треугольников AOB, BOCt COD и DOAt где О — точка пересечения диагоцалей.
Черт. 54. Черт. 55.
37. В равносторонний треугольник вписываются окружности равных радиусов так как указано на чертеже 55. Найти предел, к которому стремится отношение площади, занимаемой всеми вписанными кругами, к площади треугольника, когда число кругов неограниченно возрастает.
Глава XVII ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
§ 1. Треугольник
Доказать, что во всяком треугольнике в соответствии с обозначениями, введенными в задачах 26—41, гл. XVI, § 1, имеют место следующие соотношения (проверка всех соотношений после того, как решены задачи 26—41, может быть сведена к проверке тождеств; однако почти все предлагаемые ниже задачи могут быть решены более коротко из геометрических соображений):
