Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
11. На гипотенузе ВС прямоугольного треугольника ABC, вне его, построен квадрат. Зная, что сумма катетов равна а, определить расстояние от вершины А до центра квадрата.
12. В прямоугольном треугольнике проекции катетов на гипотенузу равны р и q Найти площадь треугольника.
13. В прямоугольный треугольник с катетами Ъ и с вписан квадрат, имеющий с треугольником общий прямой угол. Найти площадь этого квадрата.
14. Определить площадь треугольника, если основание его равно 10, а углы, прилежащие к основанию, 30° и 45°.
15. Даны стороны а, Ь, с треугольника ABC. Найти расстояния от вершин В и С до биссектрисы угла ВАС.
16. Вычислить стороны прямоугольного треугольника, зная его периметр 2р и длину h перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла на гипотенузу.
17. Внутри угла 60° расположена точка на расстояниях а и & от его сторон. Найти расстояние от этой точки до вершины данного угла.
18. Площадь прямоугольного треугольника равна 6, а радиус вневписанной окружности, касательной к одному из катетов, равен 3. Найти стороны треугольника.
§ 1. ТРЕУГОЛЬНИК
- 18t
19. Катеты прямоугольного треугольника равны b и с. Найти длину биссектрисы прямого угла.
20. Определить отношение сторон прямоугольного треугольника, зная, что радиус описанного около него круга относится к радиусу вписанного в него круга, как 5 : 2.
21. Дан ромб ABCD1 острые углы BnD которого равны 60°. Прямая MN отсекает от сторон CB и CD отрезки CM и CN', сумма которых равна стороне ромба. Определить углы треугольника AMN.
22. Вычислить катеты прямоугольного треугольника, зная его гипотенузу с и длину / биссектрисы одного из острых углов.
23. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Найти расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей.
24. Стороны треугольника связаны соотношением
а3 — ьъ -\-съ.
Может ли угол А быть острым? Тупым? Прямым? 26. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна 5. Из медиатрисы этой медианы
15
больший катет и медиана высекают отрезок длиной -^9 Найти катеты.
о
Выразить через стороны а9 Ь9 с треугольника следующие элементы треугольника:
26. Высоты ha, hb, hc.
27. Медианы та, mb, тс.
28. Биссектрисы внутренних углов la, lb9 1С.
29. Биссектрисы внешних углов la\ lbt lc.
30. Радиус R описанной окружности.
31. Радиус г вписанной окружности.
32. Радиусы ra, гь, гс вневписанных окружностей.
33. Расстояния h', hrb9 hrc от ортоцентра H до вершин треугольника.
34. Расстояния l'a, l'b, 1'с от центра вписанного круга до вершин..
36. Отрезки медиан т', тгь, т'с9 заключенные между точкой их пересечения й вершинами.
36. Расстояния h"a> h"b9 ti'c от ортоцентра до сторон треугольника.
37. Отрезки Г, /?, 1"с биссектрис между точкой их пересечения и сторонами треугольника.
38. Отрезки т'а, тг'Ъ1 т"с медиан между точкой их пересечения и сторонами треугольника.
39. Расстояния da% dbt dc центра описанной окружности от центров вневписанных окружностей.
40. Расстояния kai kbt kc от центра описанной окружности до сторон треугольника.
41. Расстояние d от центра описанной окружности до центра вписанной окружности.
42. В круг радиуса г вписаны два правильных треугольника, стороны которых пересекаются так, что каждая сторона оказывается разделенной на три равные части. Определить площадь, общую обоим треугольникам.
43. Даны стороны b и с треугольника. Найти третью сторону X9 зная, что она равна высоте, на нее опущенной. При каком соотношении между b и с задача возможна?
44. На сторонах угла от вершины О отложены отрезки OA и OB9 причем OA > OB. На отрезке OA взята точка M9 а на продолжении отрезка ОД за точку В взята точка N так, что AM = BN = х. Найти значение X9 при котором отрезок MN имеет наименьшую длину.
182
Планиметрия. Гл. XVI. ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ
46. В треугольнике ABC угол А вдвое больше угла В. По данным сторонам Ь и с найти а.
46. Из двух углов треугольника один в два раза больше другого. Найти стороны треугольника, зная, что они выражаются целыми числами.
47. В треугольнике ABC биссектриса BD внутреннего угла В равна медиане AE. Найти соотношение между сторонами треугольника.
4$. В треугольнике ABC высота ha составляет половину биссектрисы внешнего угла этого треугольника при вершине А. Найти \В — С\.
49. Равнобедренные треугольники ABC, ABC1 и ABC2 имеют общее основа-
1 3
ние AB, а высоты их равны соответственно AB, AB и AB. Вычислить - сумму углов при вершинах этих треугольников.
50. Найти длину гипотенузы такого прямоугольного треугольника, который можно расположить на клетчатой бумаге так, чтобы гипотенуза лежала на одной из линий сетки, а все вершины треугольника лежали в вершинах квадрата, образованного линиями сетки.
51. Рассмотрим три произвольные, различные пары действительных чисел:
alt bx\ а2, Ьг\ а3, Ь3,
причем
ai^2~\~ а2^з ~Ь аФ\ — а3Ь2 — o2^i — аФъ Ф 0.
Доказать, что существует треугольник, длины сторон которого выражаются ^ числами
