Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
Черт. 28. Черт. 29.
под прямым углом (черт. 26). Касательная к эллипсу в точке M образует равные углы с отрезками MF1 и MF2] следовательно, нормалью к эллипсу в точке M является биссектриса угла F1MF2 (черт. 27). Геометрическое место оснований
Черт. 30. Черт. 31.
перпендикуляров, опущенных из фокуса эллипса на касательную к нему, есть окружность, построенная на большей оси эллипса как на диаметре (главная окружность эллипса; черт. 28). Если одна сторона прямого угла проходит через фиксированную точку F9 а вершина угла описывает окружность, внутри которой лежит F, то вторая сторона угла огибает эллипс, у которого F — фокус, а указанная окружность — главная (черт. 29). Если прямая пересекает эллипс, то
174
ПЛАНИМЕТРИЯ
проекция на нее любого фокуса лежит внутри главной окружности, а если не пересекает, то вне (черт. 30). Геометрическое место точек, симметричных фокусу эллипса относительно касательных к нему, есть окружность с центром в другом фокусе, радиус которой равен большей оси эллипса (направляющая окружность эллипса; их у эллипса две; черт. 31). Геометрическое место середин параллельных хорд эллипса есть отрезок прямой, называемый диаметром эллипса, сопряженным этим хордам (черт. 32). Все диаметры эллипса проходят через его центр
Черт. 32. Черт. 33.
и обратно. Два диаметра эллипса называются сопряженными, если каждый из них делит пополам хорды, параллельные другому (черт. 33). Для каждого диаметра эллипса существует, и притом только один, ему сопряженный.
§ 2. Гипербола
Фиксируем на плоскости две различные точки: F1 и F2, расстояние между которыми равно 2с. Фиксируем положительное число 2а, меньшее, чем 2с.
Геометрическое место точек М, для каждой из которых
IMF1-MF21 = 2а,
называется гиперболой. Гипербола состоит из двух ветвей (черт. 34); для всех точек одной ветви MF1-MF2 = 2а, для всех точек другой MF1-MF2=—2а. Точки F1 и F2 называются фокусами гиперболы, прямая F1F2—фокальной, или действительной, осью гиперболы. Медиа-триса отрезка F1F2 называется мнимой Черт. 34. осью гиперболы. Точки пересечения ги-
перболы с ее действительной осью называются ее вершинами (у гиперболы 2 вершины). Точка пересечения осей гиперболы называется ее центром; она является центром симметрии гиперболы. Расстояние а от центра гиперболы до ее вершины называется действительной полуосью. Мнимой полуосью гиперболы называется действительное число b = Yc2 — а2, отсюда а2-\-Ь2 — с2. Прямые, проходящие через центр гиперболы и образующие с ее действительной осью острые углы 6 = arc tg , называются
асимптотами гиперболы. Гиперболу можно также определить как плоское сечение прямой круговой конической поверхности плоскостью, которая не проходит через вершину этой поверхности и параллельна двум ее образующим (иначе — пересекает обе полости поверхности; черт. 35).
Прямые, перпендикулярные фокальной оси гиперболы и отстоящие от ее я2
центра на расстоянии —, называются директрисами гиперболы (черт. 36). Директрисой гиперболы, соответствующей рассматриваемому фокусу, называется директриса, ближайшая к этому фокусу. Отношение — = ? называется эксцен-
ПЛАНИМЕТРИЯ
175
триситетом гиперболы; отметим, что для гиперболы е > 1. Отсюда следует, что ,-~=^<а и значит директрисы гиперболу не пересекают. Отношение расстояний любой точки гиперболы от фокуса к расстоянию от этой точки до директ-
V
(D)
и
аг
а*
Xl
с
с
Черт. 35.
Черт. 37.
рисы, соответствующей рассматриваемому фокусу, равно эксцентриситету гиперболы. Обратно: пусть на плоскости заданы прямая (D) и точка F % не лежащая на (D). Фиксируем число е > 1. Тогда геометрическое место точек Af, для каждой
Черт. 38.
Черт. 39.
из которых отношение расстояний от точки F к расстоянию до прямой (D) равно е> есть гипербола с фокусом F и соответствующей ему директрисой (D). Касательная к гиперболе определяется так же, как и для эллипса (см. выше — первое определение). Отрезок MK касательной к гиперболе, заключенный между точкой касания M и точкой К пересечения этой касательной с директрисой (D), виден из фокуса F1 соответствующего директрисе (D) под прямым
176
ПЛАНИМЕТРИЯ
углом (черт. 37). Касательная к гиперболе в точке M является биссектрисой угла F1MF2 (черт. 38). Геометрическое место оснований перпендикуляров.,
Черт. 40. Черт. 41.
опущенных из фокуса гиперболы на касательные к ней, есть окружность, построенная на действительной оси гиперболы A1A2 как на диаметре (главная окружность гиперболы; черт. 39).
Черт. 42. Черт. 43.
Если одна сторона прямого угла проходит через фиксированную точку F9 а вершина угла описывает окружность, для которой F — внешняя точка, то
вторая сторона угла огибает гиперболу, для которой F — фокус, а указанная окружность — главная (черт. 40). Если прямая пересекает гиперболу, то проекция на нее любого фокуса лежит вне главной окружности, а если не пересекает, то — внутри (черт. 41).
Геометрическое место точек, симметричных фокусу гиперболы относительно касательных к ней, есть окружность радиуса 2а с центром в другом фокусе (направляющая окружность гиперболы; гипербола имеет две направляющие окруж-Черт. 44. ности; черт. 42). Геометрическое место
