Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
Угол от прямой а до прямой Ъ в указанном смысле имеет бесконечное множество значений; если а — одно из значений этого угла, то все значения будут заключены в формуле
»
где k — любое целое число. Последнее соотношение мы часто будем записывать так:
ср — а (той • я)
Черт, 3.
(читается так: «фи сравнимо с альфа по модулю пи») (черт. 4);
г) ориентированный угол от вектора а до вектора 6 или, что то же самое, от ориентированной прямой а до ориентированной прямой Ъ — это угол, на который надо повернуть вектор а, чтобы его направление совпало с направлением вектора Ъ\ при этом так же, как и выше, устанавливается соглашение
Черт. 4. Черт. 5.
о положительных и отрицательных поворотах, а в соответствии с этим — о положительной и отрицательной мере угла. Если а —одно из значений угла от вектора а до вектора Ь, то все значения этого угла будут заключены в формула
где к — любое целое число (черт. 5), или
ср = а (mod • 2тг).
Ориентированные углы подчиняются теореме Шаля
(a, b)-\-(b, с) = (а, с) (mod • тс) в случае, если прямые а, Ь, с — неориентированны, и
(a, b) + (Ь, с) = (а, с) (mod • 2тс)
в случае векторов (или ориентированных прямых).
Понятие ориентированного угла позволяет целому ряду вопросов и решениям придать более естественный характер, чем в случае, если пришлось бы рассматривать углы неориентированные.
11*
164
ПЛАНИМЕТРИЯ
Черт. 6.
Например, геометрическое место точек M9 из которых данный отрезок AB виден под углом 45°, состоит из дуг двух окружностей; здесь угол рассматривается в смысле второго определения, т. е. как угол
M между векторами MA и МБ (черт. 6). Геометрическое же место точек M таких, что угол от прямой MA до прямой MB (в смысле третьего определения) равен 45°, есть окружность (черт. 7).
Понятие ориентированного угла в сочетании с теоремой Шаля позволяет решать задачи по геометрии методами, близкими к аналитическим, без потери геометрического содержания. Подобные решения в достаточном числе представлены в решениях задач этого раздела, поэтому в общих указаниях ограничимся одним примером.
Пример. Пусть А'у В'\ С— точки, симметричные вершинам А, В, С треугольника ABC относительно произвольной точки плоскости. Доказать, что окружности (ABf C)9 (BCA'), (СА'В') пересекаются в точке окружности (ABC), а окружности (AJBC), {AB9C)9 (ABC) — в точке окружности (А'В'С) (черт. 8). Решенае. Окружности (ABC) и (АВ'С) имеют общую точку A9 значит они имеют еще одну общую точку Р. Точки A9 Bt C9 P лежат на одной окружности, значит
(PA9 PB) = (CA9 CB) (mod . тг). (1)
Аналогично — четыре точки A9 В'9 C9 P лежат на одной окружности, значит
(PA9 PC) = (B'A9 В'С). (2)
Вычитая почленно из равенства (2) равенство (1), получим
(PA9 PB) — (PA9 PC) = (CA9 CB) — (B'A9 В'С) (mod . ти), замечая, что В'С'\\ВС9 будем иметь
(PC9 PB) = (CA9 AB') (mod . тс). (3)
Но в силу симметрии, отрезки CA и CA' параллельны, так же как и AB' и А'В\ значит равенство (3) можно записать так:
(PC9 PB) = (AfC9 ArB) (mod . ти). (4)
Отсюда следует, что точки Ar9 B9 C9 P лежат на одной окружности и значит точка P лежит на окружности (ВА'С). Аналогично доказывается, что точка P
Черт. 8.
лежит на окружности (СА'В'). Аналогично (в силу симметрии относительно точки O)9 если окружности (AB7C)9 (ВСА')9 (СА'В') пересекаются на окружности (ABC)9 то окружности (А'ВС), (B'AC) и (CAB) пересекаются на окружности (А'В'С).
ПЛАНИМЕТРИЯ
165
Касаясь задач на отыскание геометрических мест точек, следует отметить, что в вопросах этого рода часто ограничиваются выводом лишь необходимого признака. Например, доказывается, что точка M лежит на той или иной фиксированной прямой или окружности. Отсюда, конечно, нельзя еще сделать вывода о том, что этим геометрическим местом является вся эта прямая или вся окружность. В этой главе имеется много задач, где геометрическим местом точек является часть прямой — часть окружности, состоящая из одной или нескольких ее дуг.
Таким образом, после получения необходимого признака (вроде: точка M лежит на окружности, точка M лежит на прямой и т. д.) следует провести рассуждения, устанавливающие, какие точки полученного, вообще говоря, более широкого множества удовлетворяют начальным условиям, определяющим то или иное геометрическое место точек. Задачи подобного рода (с решениями) даны в этом разделе, поэтому здесь примеров рассматривать не будем.
Необходимо отметить еще следующее: учащиеся часто считают, что геометрическое место точек должно быть линией; это ошибочное представление. Геометрическое место точек, определяемое тем или иным заданием, может быть частью плоскости или даже всей плоскостью. Так, например, геометрическое место точек М, таких, что
MA > MB.
где А и В—две различные точки плоскости, состоит из всех точек полуплоскости, расположенных по одну сторону от медиатрисы отрезка AB, Геометрическое место точек M таких, что
MA < 2MB
состоит из всех точек плоскости, лежащих вне окружности, построенной на отрезке CD как на диаметре, причем D и С — такие, точки, что (черт. 9)
