Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
x
г*
называется «сферическим избытком».
X
Отметим, что дробью -j^ можно практически пренебречь, если x мало
сравнительно с г, так что «небольшой» сферический треугольник (сравнительно с размерами сферы) имеет сумму углов, приблизительно равную 180°.
ПЛАНИМЕТРИЯ
171
: Пример 7. В шар, поверхность которого равна 5, вписан куб, и все его грани продолжены до пересечения с поверхностью шара. Найти площади тех частей, на которые разделится поверхность сферы.
Решение. Поверхность сферы разделится на 18 частей: 12 «двуугольников», примыкающих к каждой из 12 граней куба, и 6 «четырехугольников», каждый из которых вырезается из сферы четырьмя гранями куба, проходящими через пары четырех параллельных между собою ребер (черт. 20).
Обозначая площадь «двуугольника» через х, а площадь «четырехугольника»— через у, будем иметь
\2x-{-6y = s.
С другой стороны, грань куба отсекает от сферы сегмент, площадь которого равна 4х-\-у:
4л; + у = S1,
где S1 — площадь сегмента шара, отсекаемого от него гранью куба, вписанного в этот шар.
Нетрудно вычислить площадь этого сегмента: Решая систему
12л: + 6j; = s, Ax-\-у = S1,
находим:
2 — У"з /3 — 1
X = —J5-S, у = g S.
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О ЛИНИЯХ ВТОРОГО ПОРЯДКА § 1. Эллипс
Пусть на плоскости фиксированы две различные точки F1 и F2, расстояние между которыми равно 2с. Фиксируем число 2а, большее, чем 2с. Геометриче-ское место точек М, для каждой из которых MF1 + MF2- 2а, называется эллипсом.
Эллипс есть замкнутая выпуклая линия (черт. 21); точки F1 и F2 называются фокусами эллипса, прямая F1F2 — фокальной осью эллипса (или его большей осью); медиатриса отрезка F1F2 называется малой осью эллипса. Точки пересечения эллипса с его осями называются вершинами эллипса (у эллипса 4 вершины). Точка пересечения осей Черт. 21.
эллипса называется его центром; она является
центром симметрии эллипса. Расстояние а от центра эллипса до любой его вершины, лежащей на фокальной оси, называется большей полуосью эллипса; расстояние же Ъ от центра эллипса до вершины, не лежащей на фокальной оси, называется меньшей полуосью эллипса. Числа а, Ъ и с связаны соотношением а2 = Ь2-\- с2. Если фокусы эллипса совпадают, то эллипс превращается в окружность. Эллипс можно определить так же, как плоское сечение прямой круговой конической поверхности плоскостью, которая пересекает все образующие этой поверхности, но не проходит через ее вершину (черт. 22). Если секущая плоскость перпендикулярна оси конической поверхности (но не проходит через ее вершину), то в сечении получаем окружность. Эллипс можно определить и как результат сжатия окружности к любой прямой, в частности к диаметру окружности (черт. 23). Это означает, что эллипс может быть получен так: пусть A1A2 — фиксированный диаметр окружности, P — основание перпендикуляра,
PM
опущенного из точки т на A1A2, M-—точка прямой Pm такая, что —=- = k,
Pm
172
ПЛАНИМЕТРИЯ
где k — фиксированное число, не равное О ^на черт. & = -ij. Когда точка т
описывает окружность с диаметром A1A2, точка M описывает эллипс, одна из
полуосей которого равна а —
= Y A1A2, другая же b определяется из соотношения — = I k I .
а ' 1
В случае 0 < I k I < 1, Ъ — меньшая полуось, а — большая, в случае I k I > 1 — наоборот. Прямые, отстоящие от центра эллипса (не являющегося окружностью) cfi
на расстояниях — от его центра и перпендикулярные его
Черт. 22.
Черт. 23.
фекальной оси, называются директрисами эллипса. Окружность директрис не имеет. Директрисой, соответствующей данному фокусу эллипса, называется
с
директриса, ближайшая к этому фокусу. Отношение — — е называется эксцентриситетом эллипса. Отметим, что 0<^е< 1 (е = О для окружности). Отсюда следует, что собственно для эллипса (0<?<1) ~- = -|->а и значит директриса не пересекает эллипс. Отношение расстояний от любой точки эллипса до его фокуса к расстоянию от этой точки до директрисы, соответствующей рассматриваемому фокусу, равно эксцентриситету эллипса (черт. 24).
7?
Черт. 24.
Черт. 25.
Обратно: пусть на плоскости заданы прямая (D) и не лежащая на ней точка F. Фиксируем число е, 0<?< 1. Тогда геометрическое место точек M9 для каждой из которых отношение расстояний от точки F к расстоянию до прямой (D) равно е, есть эллипс с фокусом F и соответствующей ему директрисой (D). Касательной к эллипсу в точке M называется предельное положение секущей MM' эллипса, когда точка M' эллипса, оставаясь на эллипсе неограниченно, приближается к точке М. Касательную к эллипсу в точке M можно
ПЛАНИМЕТРИЯ
173
определить и как прямую, проходящую через точку M и имеющую с эллипсом только одну общую точку (M). При сжатии окружности к ее диаметру касательная к окружности в точке т переходит в касательную к эллипсу в точке М,
Черт. 26. Черт. 27.
в которую переходит т (черт. 25). Отрезок MK касательной к эллипсу в точке М, заключенный между точкой касания M и точкой /С, в которой эта касательная пересекает директрису, виден из фокуса, соответствующего этой директрисе
