Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
середин параллельных хорд гиперболы есть прямая, проходящая через центр гиперболы, если концы каждой хорды лежат на разных ветвях гиперболы; это геометрическое место есть прямая за вычетом отрезка (ограниченного точками пересечения этой прямой с гиперболой), если концы каждой хорды лежат на одной и той же ветви гиперболы (черт. 43).
ПЛАНИМЕТРИЯ
177
Эта прямая (т. е. прямая, на которой лежат середины параллельных хорд гиперболы) называется диаметром гиперболы, сопряженным с рассматриваемыми хордами. Все диаметры гиперболы проходят через ее центр. Обратно: любая прямая, проходящая через ее центр, кроме двух асимптот, является диаметром гиперболы.
Два диаметра гиперболы называются сопряженными, если любой из них делит пополам хорды, параллельные другому (черт. 44). Для каждого диаметра гиперболы существует, и притом только один, ему сопряженный. Гипербола называется равносторонней, если ее асимптоты взаимо-перпендикулярны. Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен (и обратно).
§ 3. Парабола
Фиксируем на плоскости точку F и прямую (D), не проходящую через точку F. Геометрическое место точек М, расстояние каждой из которых до точки F равно расстоянию до прямой (D), называется параболой (черт. 45).
Точка F называется фокусом параболы, a (D) — директрисой. Прямая, проходящая через точку F перпендикулярно директрисе (D), называется осью параболы, ось параболы является ее осью симметрии. Точка пересечения оси параболы с самой параболой называется ее вершиной. Парабола имеет одну вершину. Расстояние от фокуса до директрисы называется параметром параіоли.
Параметр р параболы равен половине хорды параболы, проходящей через фокус перпендикулярно оси. Параболу можно также определить как плоское сечение прямой круговой поверхности плоскостью, не проходящей через ее вершину и параллельной только одной образующей поверхности, иначе—плоскостью, пересекающей одну полость конической поверхности (черт. 46).
Касательная к параболе определяется также и для эллипса (см. выше первое определение касательной к эллипсу). Отрезок MK касательной к параболе, заключенный между точкой касания M и точкой K9 в которой эта касательная
Черт. 45.
Черт. 46.
пересекает директрису, виден из фокуса под прямым углом (черт. 47). Если через точку M параболы провести луч MS, идущий в область внутренних точек по отношению к параболе, то касательная к параболе в точке M будет одинаково наклонена к лучам MF и MS (черт. 48) (оптическое свойство параболы).
12 П. С. Моденов
178
ПЛАНИМЕТРИЯ
Геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из фокуса параболы на касательные к ней, есть касательная к параболе в ее вершине . (главная «окружность»; черт. 49).
Черт. 52. Черт. 53.
Если одна сторона прямого угла проходит через фиксированную точку F9 а вершина угла скользит по некоторой прямой (Д), не проходядей через точку F9 то другая сторона угла огибает параболу с фокусом F9 касательной в вершине которой является А (черт. 50).
ПЛАНИМЕТРИЯ
179
Если прямая пересекает параболу, то проекция на эту прямую фокуса лежит по ту сторону от касательной (А) к параболе в ее вершине, где и фокус F, а если не пересекает, то в другой полуплоскости от А (черт. 51).
Геометрическое место точек, симметричных фокусу параболы относительно касательных к ней, есть директриса (черт. 52). Геометрическое место середины параллельных хорд параболы есть часть прямой, параллельной оси параболы, состоящая из всех точек этой прямой, лежащей внутри параболы (черт. 53). Сама эта прямая называется диаметром параболы, сопряженным хордам выбранного направления. Любая прямая, параллельная оси параболы, является ее диаметром.
Глава XVI
ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ § 1. Треугольник
1. Найти катеты прямоугольного треугольника, у которого гипотенуза равна а, а один из острых углов равен 15°.
2. Определить стороны прямоугольного треугольника, если его периметр равен 12 см, а площадь 6 см2.
3. Расстояние от вершины прямоугольника до диагонали, не проходящей через эту вершину, равно 2,4, Найти стороны прямоугольника, если их разность равна 1.
4. Меньший из отрезков гипотенузы треугольника, на которые делит ее перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла, равен 1,8. Найти стороны треугольника, если разность катетов равна 1.
б. В остроугольном треугольнике со сторонами а, Ь, с определить периметр треугольника, образованного основаниями его высот.
6. Выразить стороны треугольника через три его высоты.
7. Определить вид треугольника, если длины а, Ь, с его сторон связаны соотношением
я4 + #4 + с4 = а2Ь2 + Ь2с2 + с2а2.
8. Определить углы треугольника, зная, что два из них относятся как 2:1, а биссектриса третьего угла делит площадь треугольника в отношении 1 : ]/"з.
9. Найти катеты прямоугольного треугольника, если известно, что радиус вневписанного круга, касающегося гипотенузы, равен 2, а высота, опущенная на гипотенузу, равна У 6—2.
10. Определить углы равнобедренного треугольника, зная, что точка пересечения его высот лежит на вписанной окружности.
