Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
163
ПЛАНИМЕТРИЯ
плоскость рг будут две параллельные прямые а* и Ь'\ в самом деле, две плоскости, проходящие через точку 5, и прямые а и O1 которые проектируют эти прямые а и b в плоскость р' из точки S1 пересекаются по прямой, параллельной плоскости р', поэтому проектирующие плоскости пересекут плоскость рт по двум параллельным прямым: а! и Ь\ являющимся проекциями прямых а и Ь из точки S в плоскость рг (черт. 14).
Черт. 14. Черт. 15.
Возвращаясь к данной задаче, спроектируем данную нам конфигурацию, изображенную на черт. 13, из точки S1 лежащей в плоскости q, проходящей через точки пересечения прямых 16 и 34, 45 и 12 в плоскость /?, параллельную плоскости q\ мы получим в проекции конфигурацию К' того же типа, что и конфигурация /С, изображенная на чертеже 13; в конфигурации К', однако, 1'6' и 3'4' будут параллельны, прямые 4'5' и 1727 также параллельны (черт. 15). Докажем, что прямые 6'5' и 2'3' будут параллельны. В самом деле,
0^__(УГ 04' 0'5'
04' ~~ О'З" 0'2' ~~ 0'1"
откуда (перемножая)
0'6' 0'5'
0'2'
О'З'
значит, 5'6'||3'2', а потому при обратном проектировании конфигурации Кг плоскости р' из точки 5 в плоскость р мы получим, что параллельные прямые
57O7 и 3'2' спроектируются в прямые 56 и 32, пересекающиеся в некоторой точке С, лежащей на «линии горизонта» AB.
Пример 4. Каждая из сторон равностороннего треугольника разделена на 3 равные части, и точки деления соединены с противоположными вершинами так, как указано на черт. 16. Найти отношение площади треугольника, образованного проведенными прямыми, к площади заданного треугольника.
Решение. Пусть 5 — площадь данного треугольника, а X — площадь треугольника, образованного проведенными прямыми (черт. 16). Обозначим через у площадь каждого из четырехугольников и через z — площадь каждого из треугольников, на которые разбивается данный треугольник проведенными прямыми. Тогда
Черт. 16.
х ~Ь* Ч~ — 5, у -f- 2z = у.
Для составления третьего уравнения соединим точку площадь Д DBP = 2z, и так как
пл. A ADC
D
(1)
с точкой В. Тогда
пл. Д BDA
= 2,
ПЛАНИМЕТРИЯ
169
у = 5z. (2)
Решая системы уравнений (1), (2), получим
так что искомое отношение равно у.
Замечание. Отметим, что это положение верно для произвольного тре угольника и метод решения остается тем же.
Число «неизвестных» будет тем же самым. Для того чтобы доказать равенство площадей четырехугольников и треугольников, прилегающих к сторонам данного, треугольника, достаточно, например, заметить, что всякий треугольник можно рассматривать как проекцию равностороннего треугольника и что при параллельном проектировании равные площади проектируются в равные.
Пример 5. Три окружности одного и того же радиуса пересекаются под прямыми углами. Найти площадь криволинейного треугольника, общую для всех кругов.
Решение. Соединим центры данных окруж- Черт. 17.
ностей; получим равносторонний треугольник,
который дугами окружностей разделен на 7 частей. Обозначим искомую площадь через х\ введем еще в рассмотрение площади у (на черт. 17 они заштрихованы) и площади z (черт. 17). Тогда*
* + ЗУ + 3* = пл. O1O2O3 = гД1р , X + 2у + г = ^ ^r2,
X -(-у = -4---Y (пл* КРУГ0В0Г0 сегмента).
Решая написанную систему, найдем
X = 2Vb-6).
Пример 6. Вычислить площадь сферического треугольника, углы которого Л, Б, С и который расположен на сфере радиуса г.
Замечание. Сферическим треугольником называется часть сферы, ограниченная дугами трех больших ее кругов. Углами сферического треугольника называются внутренние двугранные углы трехгранного угла, вершина которого находится в центре сферы, а ребрами являются лучи, выходящие из центра сферы и проходящие через вершины сферического треугольника.
Решение. Заметим сначала, что площадь части сферы, высекаемой из нее гранями двугранного угла величиной а, ребром которого служит диаметр, равна
as
2ЇГ'
QiO2 = г Y 2, так как данные окружности пересекаются под прямыми углами".
то
откуда
170
ПЛАНИМЕТРИЯ
где s — поверхность сферы (черт. 18). Пусть ЛВС — сферический треугольник (черт. 19). Так как все дуги AB9 BCt CA — дуги больших кругов, то, проводя через дугу AB плоскость, заключаем, что она пройдет через центр сферы,
Черт. 18.
а сферический треугольник ЛВС окажется расположенным на одной из полусфер, на которые разделится сфера проведенной плоскостью (черт. 19). Дугами AC и ВС (продолженными за точку С) полусфера разделится на 4 части, площади которых обозначим через xt у9 Z9 и. На основании только что высказанного соображения о величине сферического «двуугольника» находим:
х + у =
x Jn z =
45=4 4^2=2л'2'
В _В_ ІІЇ 5 — 2я
4тСГ2 :
с с л 2
a = 2^S=2^47:r2:
= 2Br2, 2Cr2
и, наконец,
х Jn yJr z+a = 2кг2.
Решая полученную систему, находим
х = (А + В + С — к)г2.
Такова формула для площади сферического треугольника. Отметим попутно,
что
Черт. 20.
AJnBJnC = k + -
т. е. что сумма углов сферического треугольника больше тс (180°) на величину, равную отношению площади этого треугольника к квадрату радиуса сферы, на которой расположен треугольник. 3to число
