Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
АС_ AD _ CB — DB~j'
К подобного рода геометрическим местам приводят задачи, не обязательно связанные явно с геометрическими неравенствами. В тех случаях, когда на заданную точку M наложены достаточно общие условия, она может зачерчивать часть плоскости.
Трудно найти общий научный принцип, по которому следовало бы классифицировать задачи д q этого раздела. Мною они разделены так, как 0 указано в предисловии: глава XVI — задачи на вычисление, глава XVII — задачи на доказательство, глава XVIII — геометрические места точек, глава XIX — задачи на построение. Однако и такая Черт. 9.
классификация не позволяет разделить собранные
мною задачи по трем указанным разделам, так как ряд задач может быть решен как построением, так и вычислением с наличием в них вопросов «на доказательство». Такие задачи помещены в главе XX. Мы считаем, что синтез различных методов геометрии, примененных в одной задаче, будет способствовать более глубокому пониманию силы того или иного метода в геометрии. Наконец, в последнюю главу (XXI) этого раздела включены «разные» задачи, которые по своему характеру не могут быть отнесены ни к одной из первых глав планиметрии. При решении задач по планиметрии не следует ограничивать себя методами, обычно применяемыми в школе. Вполне допустимо приложение стереометрии к решению планиметрических задач, а также и тригонометрии. Этим достигается не только взаимосвязь многих разделов элементарной математики, но получается возможность сравнить силу того или иного метода.
Рассмотрим несколько примеров, показывающих применение к решению планиметрических задач перспективы, стереометрии, а также рассмотрим ряд
166
ПЛАНИМЕТРИЯ
искусственных приемов; с применением к решению задач различных геометрических преобразований читатель познакомится в решениях ряда задач главы XV.
Пример 1. На плоскости заданы три окружности: C1, C2, C3, из которых ни одна не лежит внутри другой. Доказать, что три точки, в каждой из которых пересекаются две внешние касательные, проведенные к паре окружностей, лежат на одной прямой.
Решение. Пусть р — плоскость, в которой расположены данные окружности. Сначала докажем, что если через центры O1 и O2 окружностей C1 и C2 провести лучи, перпендикулярные плоскости р и направленные в одну сторону, и отложить на этих лучах отрезки O1B1 и O2B2, равные соответственно радиусам гх и г2 окружностей C1 и C2, то прямая B1B2 пройдет через точку плоскости р, в которой пересекаются внешние касательные к окружностям C1 и C2
Черт. 10.
(черт. 10); в самом деле, пусть О' — точка, в которой пересекаются внешние касательные к окружностям C1 и C2; так как точки O1, O2 и О' лежат на одной прямой, то треугольники O1A1O' ц O2A2O' подобны, а потому
OA __ rx — r9i O2O' ~ г2 *
Пусть О" — точка, в которой прямая B1B2 пересекает прямую O1O2; тогда из подобия треугольников O1B1O" и O2B2O" находим
0\0* _ г\ — г2 O2O" ~ г2 *
Из полученных равенств находим O2O' — O2O"; следовательно, точки О' и О" совпадают.
Теперь проведем через центры O1, O21 O3 данных окружностей лучи, перпендикулярные плоскости р и направленные в одну сторону, и отложим на этих лучах отрезки O1B11 O2B2, O3B3, равные соответственно радиусам rlt г2 и rz данных окружностей (черт. 11). Тогда, по доказанному, три їочки, в каждой из которых пересекается пара внешних касательных, проведенных к двум из данных окружностей, будут точками пересечения прямых B1B23 B2B3, B3B1 с плоскостью р.
Эти точки лежат на одной прямой, по которой плоскость р пересекается плоскостью B1B2B3.
Пример 2. Три круга расположены на плоскости так, что имеется часть плоскости, общая всем трем кругам. Доказать, что три хорды, общие этим кругам, взятым црпарно, проходят через одну точку.
Решение. Рассмотрим три полусферы, граничными окружностями которых являются данные окружности. Полусферы расположены по одну сторону от плоскости р, на которой находятся данные окружности. Эти три полусферы имеют (и притом только одну) общую точку; хорда, общая каким-нибудь двум
ПЛАНИМЕТРИЯ
167
окружностям, будет проекцией в плоскость р полуокружности, по которой пересекаются две полусферы, для которые эти окружности являются граничными (черт. 12).
На каждой из трех полуокружностей, ро которым пересекаются рассматриваемые полусферы, взятые попарно, лежит точка, общая всем этим полу-
Черт. 11.
сферам, поэтому три хорды, общие данным окружностям, взятым попарно, проходят через одну точку, которая является проекцией на плоскость р точки, общей для трех построенных полусфер.
Пример 3. Пусть / и V — две произвольные прямые плоскости. Возьмем на прямой / три произвольные точки: 1, 3, 5, а на прямой /'— точки 2, 4, 6; все точки отличны от точки пересечения прямых / и V'. Доказать, что три точки, в которых пересекаются прямые
Черт. 12, Черт. 13.
Решение. Прежде всего докажем, что две пересекающиеся прямые, лежащие з какой-либо плоскости, можно из точки спроектировать в две параллель* ные прямые.
В самом деле, пусть а и Ъ — две пересекающиеся прямые, лежащие в плоскости р. Проведем через точку пересечения этих прямых произвольную плоскость q и выберем в ней произвольную точку S. Проведем еще плоскость р', параллельную плоскости q. Тогда проекциями прямых а и Ъ из точки 5 на
