Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
каждая из которых касается трех прямых из числа данных десяти? * 39**. Сколькими различными способами можно раскрасить 6 граней куба в 6 различных цветов? Различными считаются раскраски, не переходящие друг в друга вращениями куба. 40*. Сколькими способами можно из колоды в 52 карты выбрать 6 карт так,
чтобы среди каждой группы из 6 карт были бы все 4 масти? 41**. Найти число всех выпуклых ^-угольников, вершинами которых служат k из п вершин выпуклого я-угольнйка, причем две соседние вершины А-уголь-ника должны быть разделены по Меньшей Мере s вершинами ^-угольника.
42. Сколько имеется шестизначных чисел, у которых три цифры четные, а три нечетные?
43. Сколько имеется шестизначных чисел, у которых сумма цифр четная (первая цифра предполагается отличной от нуля)?
44. Сколько имеется десятизначных чисел, у которых сумма цифр равна трем (первая цифра предполагается отличной от нуля)?
45. Сколько имеется девятизначных чисел, у которых все цифры различные? 48. Из п букв, среди которых буква а повторяется а раз, буква b повторяется
? раз, а остальные различны, образуют сочетания по р элементов с повторениями. Сколько среди этих сочетаний будет таких, которые содержат h раз букву а и k раз букву Ь?
47. Из п букв, среди которых буква а повторяется а раз, а буква b повторяется ? раз, производят сочетания с повторениями по р элементов. Сколько среди этих сочетаний будет таких, которые содержат h раз букву а и k раз букву Ь?
48. Сколько существует целых чисел, меньших тысячи, которые не делятся ни на 5, ни на 7?
49. Сколько различных десятизначных чисел можно написать, употребляя только цифры 1, 2, 3, при том дополнительном условии, что цифра 3 употребляется ровно два раза.
80. Найти пит, зная, что
Ст + 1 (~>т . ґ>т — 1_с с о я+1 : + 1 • U72 + I = О . О . О.
51. На одной из двух параллельных прямых выбрано т точек, на другой п точек. Каждая из т точек на первой прямой соединена прямой линией с каждой из точек на второй прямой. Найти, сколько раз пересекаются все отрезки, соединяющие точки, если предположить, что нет ни ОДНОЙ точки,, в которой пересекалось бы более двух отрезков одновременно.
52. Параллелограмм пересекается двумя рядами прямых, параллельных его сторонам; каждый ряд состоит из т линий. Сколько всех возможных параллелограммов можно составить из этих линий?
53. Сколькими способами можно разместить в ряд p-\-q шаров, из которых р белых и q черных при условии, чтобы рядом не лежали черные шары. Дано, что p>q.
54. В городе 57 автобусных маршрутов. Известно, что
а) с любой остановки на любую другую остановку можно попасть без пересадки;
136 Алгебра. Гл. XI. КОМБИНАТОРИКА
б) для любой пары маршрутов А и В найдется и притом только одна остановка, на которой можно пересесть с одного из этих маршрутов на другой;
в) на каждом маршруте не менее трех остановок. Сколько остановок имеет каждый из 57 маршрутов?
55. Автобусная сеть города устроена следующим образом:
. а) с любой остановки на любую другую остановку можно попасть без пересадки;
б) для любой пары маршрутов А и В найдется и притом единственная остановка, на которой можно пересесть с одного из этих маршрутов на другой; .. " ,
в) на каждом маршруте ровно три остановки. Сколько автобусных маршрутов в городе?
56. Коалиции А и В ведут войну между собой; п нейтральных государств находятся в нерешительности, причем известно, что р из них, наверное, не присоединятся к коалиции Л, a k, навзрноз, не присоединятся к коалиции В. Сколько новых положений может оказаться в этой войне в зависимости от дальнейшего поведения нейтральных государств?
57. В отделении железнодорожного вагона один против другого поставлены два дивана, на каждом из которых по 5 мест. Из 10 пассажиров четверо желают сидеть лицом к паровозу, а трое — спиной к паровозу. Сколькими способами могут разместиться пассажиры?
58. На сколько частей можно разделить поверхность шара плоскостями, проходящими через его центр, при условии, что никакие три плоскости не проходят через один и тот же диаметр.
59. Можно ли провести в городе 10 автомобильных маршрутов и распределить на них остановки так, что какие бы 8 маршрутов не были взяты, найдется остановка, не лежащая ни на одном из них, а любые 9 маршрутов проходят через все остановки?
60. Будем говорить, что два числа, входящих в размещение, образуют инверсию, если большее предшествует (непосредственно или нет) меньшему. Найти число In инверсий среди всех перестановок из чисел 1, 2, 3, я.
61. Два играющих поочередно вынимают из двух ящиков шары. В свой ход каждый может брать из любого, только одного, ящика произвольное число шаров. Выигравшим считают того, кто берет последним. Как должен играть первый играющий, чтобы выиграть, если в одном ящике 73 шара, а в другом 118?
62. В ящике лежит 70 шаров: 20 красных, 20 зеленых, 20 желтых, остальные черные и белые. Из ящика наугад берутся шары. Какое наименьшее число шаров надо взять, чтобы среди них было не меньше 10 шаров одного цвета?
